Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12956
2020-02-08 
В компьютерной модели атома водорода все размеры и заряды частиц увеличили в $N$ раз. Считая, что плотность "вещества" частиц в модели сохранена, определите, во сколько раз изменится период обращения "электрона" вокруг "ядра". И еще: известно, что в атоме Резерфорда электрон излучает электромагнитные волны и, теряя энергию, должен упасть на ядро через малое время $\tau$. Оцените время падения "электрона" на "ядро" в увеличенной модели.
Решение:
Масса "электрона" (и "ядра" атома) в этой модели увеличится в $N^{3}$ раз. Запишем уравнение второго закона Ньютона для электрона, который вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом $R$:
$\frac{mv^{2}}{R} = k \frac{Qq}{R^{2} }$.
Отсюда
$v = \sqrt{ \frac{kQq}{mR}}$ и $T = \frac{2 \pi R}{v} = 2 \pi \sqrt{ \frac{mR^{3} }{kQq} }$.
При увеличении всех размеров и зарядов в $N$ раз получим
$T^{*} = 2 \pi \sqrt{ \frac{ (mN^{3} )(RN)^{3} }{kQqN^{2} } } = TN^{2}$,
т.е. период обращения "электрона" увеличится в $N^{2}$ раз. Легко видеть, что кинетическая энергия "электрона" в увеличенной модели будет равна
$\frac{m^{*}v^{*2} }{2} = k \frac{Q^{*}q^{*} }{2R^{*} } = k \frac{Qq}{2R} N$,
т.е. возрастет в $N$ раз, а его ускорение будет
$a^{*} = \frac{v^{*2} }{R^{*} } = \frac{kQ^{*}q^{*} }{m^{*}R^{*2} } = k \frac{Qq}{mR^{2} } \frac{N^{2} }{N^{3}N^{2} } = a \frac{1}{N^{3} }$,
т.е. уменьшится в $N^{3}$ раз. Излучаемая при ускоренном движении заряда мощность пропорциональна величине этого заряда и квадрату его ускорения (если это вам не известно, то можно воспользоваться методом размерностей и проверить сказанное). Итак, излучаемая в модели мощность будет равна
$P^{*} = P \frac{N}{N^{6} } = \frac{P}{N^{5} }$
и энергия "электрона" будет израсходована за время
$\tau^{*} = \tau \frac{N^{5} }{N} = \tau N^{4}$.
В компьютерной модели атома водорода все размеры и заряды частиц увеличили в $N$ раз. Считая, что плотность "вещества" частиц в модели сохранена, определите, во сколько раз изменится период обращения "электрона" вокруг "ядра". И еще: известно, что в атоме Резерфорда электрон излучает электромагнитные волны и, теряя энергию, должен упасть на ядро через малое время $\tau$. Оцените время падения "электрона" на "ядро" в увеличенной модели.
Решение:
Масса "электрона" (и "ядра" атома) в этой модели увеличится в $N^{3}$ раз. Запишем уравнение второго закона Ньютона для электрона, который вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом $R$:
$\frac{mv^{2}}{R} = k \frac{Qq}{R^{2} }$.
Отсюда
$v = \sqrt{ \frac{kQq}{mR}}$ и $T = \frac{2 \pi R}{v} = 2 \pi \sqrt{ \frac{mR^{3} }{kQq} }$.
При увеличении всех размеров и зарядов в $N$ раз получим
$T^{*} = 2 \pi \sqrt{ \frac{ (mN^{3} )(RN)^{3} }{kQqN^{2} } } = TN^{2}$,
т.е. период обращения "электрона" увеличится в $N^{2}$ раз. Легко видеть, что кинетическая энергия "электрона" в увеличенной модели будет равна
$\frac{m^{*}v^{*2} }{2} = k \frac{Q^{*}q^{*} }{2R^{*} } = k \frac{Qq}{2R} N$,
т.е. возрастет в $N$ раз, а его ускорение будет
$a^{*} = \frac{v^{*2} }{R^{*} } = \frac{kQ^{*}q^{*} }{m^{*}R^{*2} } = k \frac{Qq}{mR^{2} } \frac{N^{2} }{N^{3}N^{2} } = a \frac{1}{N^{3} }$,
т.е. уменьшится в $N^{3}$ раз. Излучаемая при ускоренном движении заряда мощность пропорциональна величине этого заряда и квадрату его ускорения (если это вам не известно, то можно воспользоваться методом размерностей и проверить сказанное). Итак, излучаемая в модели мощность будет равна
$P^{*} = P \frac{N}{N^{6} } = \frac{P}{N^{5} }$
и энергия "электрона" будет израсходована за время
$\tau^{*} = \tau \frac{N^{5} }{N} = \tau N^{4}$.
