Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12953
2020-02-08 
Динамометр состоит из подставки и прикрепленной к ней однородной пружинки втрое меньшей массы. Один крючок динамометра соединен с подставкой, другой - со свободным концом пружинки. Два таких динамометра соединены "последовательно" - сцеплены двумя крючками, а внешние силы приложены к свободным крючкам. Приложим к этим крючкам противоположно направленные силы $\vec{F}$ и $\vec{f}$ - динамометры поедут по гладкой горизонтальной плоскости, вытянувшись вдоль линии действия сил. Считая, что пружинки не касаются витками оснований динамометров, определите показания приборов.
Решение:
Разберем вначале хорошо известную задачу о растяжении массивной пружинки, которую тянут за концы в противоположные стороны силами $F_{1}$ и $F_{2}$. При равенстве этих сил, т.е. когда $F_{1} = F_{2} = F$, удлинение пружинки жесткостью $k$ равно $x = F/k$. При неравных силах - пусть для определенности $F_{2} > F_{1}$ - найти растяжение сложнее, так как разные части пружинки будут растянуты неодинаково. Разобьем (мысленно) пружинку на большое число $N$ одинаковых кусочков (можно было бы рассмотреть в качестве этих кусочков отдельные витки, но если число витков невелико, то подойдут и части витков). Жесткость каждого такого кусочка будет $kN$. Для части пружинки, содержащей $n$ кусочков (рис.) запишем
$F_{2} - T_{n} = nma = n \frac{M}{N} \frac{F_{2} - F_{1}}{M} = n \frac{F_{2} - F_{1}}{N}$,
$T_{n} = F_{2} - n \frac{F_{2} - F_{1} }{N}$.
Суммируя удлинения кусочков, для всей пружинки получим
$x = \sum_{i}^{N} x_{i} = \sum_{i}^{N} \frac{T_{i} }{kN} = \frac{1}{kN} \left ( \sum_{i}^{N} F_{2} - \sum{i}^{N}n \frac{F_{2} - F_{1} }{N} \right ) = \frac{1}{kN} \left ( NF_{2} - \frac{F_{2} - F_{1} }{N} \frac{N(N + 1)}{2} \right ) = \frac{F_{1} + F_{2} }{2k}$
(мы учли, что $N \gg 1$ и $\frac{N(N +1)}{2} = \frac{N^{2}}{2}$ ). Видно, что растяжение массивной пружинки определяется полусуммой растягивающих сил. Динамометр с такой пружинкой может двигаться и с ускорением, но его показания определяются именно деформацией пружинки.
Теперь рассмотрим различные варианты соединения динамометров (обозначения ясны из соответствующих рисунков).
1) Для схемы на рисунке 2 запишем
$T - f = (3m + m)a = 4m \frac{F - f}{8m}, T = \frac{F + f}{2}$,
$T_{1} - f = 3m \frac{F - f}{8m}, T_{1} = \frac{3}{8}F + \frac{5}{8}f$.
Растяжение первой (левой) пружинки равно
$\frac{T_{1} + T}{2k} = \frac{1}{k} \left ( \frac{9}{16}f + \frac{7}{16}F \right )$,
показания первого динамометра -
$\frac{T_{1} + T}{2} = \frac{9}{16}f + \frac{7}{16}F$.
Аналогично,
$T_{2} = \frac{3}{8}f + \frac{5}{8}F, \frac{T_{2} + T }{2k} = \frac{1}{k} \left ( \frac{7}{16}f + \frac{9}{16}F \right )$,
показания второго (правого) динамометра -
$\frac{T_{2} + T}{2} = \frac{7}{16} f + \frac{9}{16}F$.
2) Для схемы на рисунке -
$T = \frac{f + F}{2}, T_{1} - f = \frac{3}{8}(F - f),T_{1} = \frac{5}{8} f + \frac{3}{8} F$,
$F - T_{2} = \frac{1}{8} (F - f), T_{2} = \frac{7}{8} F + \frac{1}{8}f$.
Показания первого динамометра -
$\frac{T_{1} + T }{2} = \frac{9}{16} f + \frac{7}{16}F$,
второго -
$\frac{T_{2} + F}{2} = \frac{1}{16} f + \frac{15}{16} F$.
3) Для схемы на рисунке 4 можно использовать ответы случая 2), поменяв местами силы $F$ и $f$.
4) Наконец, для схемы на рисунке 5 получаем
$T_{1} - f = \frac{1}{8} (F - f), T_{1} = \frac{1}{8} F + \frac{7}{8} f$,
$F - T_{2} = \frac{1}{8} (F - f), T_{2} = \frac{7}{8} F + \frac{1}{8} f$.
Показания первого динамометра -
$\frac{f + T_{1} }{2} = \frac{15}{16} f + \frac{1}{16} F$,
второго -
$\frac{F + T_{2} }{2} = \frac{1}{16} f + \frac{15}{16} F$.
Динамометр состоит из подставки и прикрепленной к ней однородной пружинки втрое меньшей массы. Один крючок динамометра соединен с подставкой, другой - со свободным концом пружинки. Два таких динамометра соединены "последовательно" - сцеплены двумя крючками, а внешние силы приложены к свободным крючкам. Приложим к этим крючкам противоположно направленные силы $\vec{F}$ и $\vec{f}$ - динамометры поедут по гладкой горизонтальной плоскости, вытянувшись вдоль линии действия сил. Считая, что пружинки не касаются витками оснований динамометров, определите показания приборов.
Решение:
Разберем вначале хорошо известную задачу о растяжении массивной пружинки, которую тянут за концы в противоположные стороны силами $F_{1}$ и $F_{2}$. При равенстве этих сил, т.е. когда $F_{1} = F_{2} = F$, удлинение пружинки жесткостью $k$ равно $x = F/k$. При неравных силах - пусть для определенности $F_{2} > F_{1}$ - найти растяжение сложнее, так как разные части пружинки будут растянуты неодинаково. Разобьем (мысленно) пружинку на большое число $N$ одинаковых кусочков (можно было бы рассмотреть в качестве этих кусочков отдельные витки, но если число витков невелико, то подойдут и части витков). Жесткость каждого такого кусочка будет $kN$. Для части пружинки, содержащей $n$ кусочков (рис.) запишем
$F_{2} - T_{n} = nma = n \frac{M}{N} \frac{F_{2} - F_{1}}{M} = n \frac{F_{2} - F_{1}}{N}$,
$T_{n} = F_{2} - n \frac{F_{2} - F_{1} }{N}$.
Суммируя удлинения кусочков, для всей пружинки получим
$x = \sum_{i}^{N} x_{i} = \sum_{i}^{N} \frac{T_{i} }{kN} = \frac{1}{kN} \left ( \sum_{i}^{N} F_{2} - \sum{i}^{N}n \frac{F_{2} - F_{1} }{N} \right ) = \frac{1}{kN} \left ( NF_{2} - \frac{F_{2} - F_{1} }{N} \frac{N(N + 1)}{2} \right ) = \frac{F_{1} + F_{2} }{2k}$
(мы учли, что $N \gg 1$ и $\frac{N(N +1)}{2} = \frac{N^{2}}{2}$ ). Видно, что растяжение массивной пружинки определяется полусуммой растягивающих сил. Динамометр с такой пружинкой может двигаться и с ускорением, но его показания определяются именно деформацией пружинки.
Теперь рассмотрим различные варианты соединения динамометров (обозначения ясны из соответствующих рисунков).
1) Для схемы на рисунке 2 запишем
$T - f = (3m + m)a = 4m \frac{F - f}{8m}, T = \frac{F + f}{2}$,
$T_{1} - f = 3m \frac{F - f}{8m}, T_{1} = \frac{3}{8}F + \frac{5}{8}f$.
Растяжение первой (левой) пружинки равно
$\frac{T_{1} + T}{2k} = \frac{1}{k} \left ( \frac{9}{16}f + \frac{7}{16}F \right )$,
показания первого динамометра -
$\frac{T_{1} + T}{2} = \frac{9}{16}f + \frac{7}{16}F$.
Аналогично,
$T_{2} = \frac{3}{8}f + \frac{5}{8}F, \frac{T_{2} + T }{2k} = \frac{1}{k} \left ( \frac{7}{16}f + \frac{9}{16}F \right )$,
показания второго (правого) динамометра -
$\frac{T_{2} + T}{2} = \frac{7}{16} f + \frac{9}{16}F$.
2) Для схемы на рисунке -
$T = \frac{f + F}{2}, T_{1} - f = \frac{3}{8}(F - f),T_{1} = \frac{5}{8} f + \frac{3}{8} F$,
$F - T_{2} = \frac{1}{8} (F - f), T_{2} = \frac{7}{8} F + \frac{1}{8}f$.
Показания первого динамометра -
$\frac{T_{1} + T }{2} = \frac{9}{16} f + \frac{7}{16}F$,
второго -
$\frac{T_{2} + F}{2} = \frac{1}{16} f + \frac{15}{16} F$.
3) Для схемы на рисунке 4 можно использовать ответы случая 2), поменяв местами силы $F$ и $f$.
4) Наконец, для схемы на рисунке 5 получаем
$T_{1} - f = \frac{1}{8} (F - f), T_{1} = \frac{1}{8} F + \frac{7}{8} f$,
$F - T_{2} = \frac{1}{8} (F - f), T_{2} = \frac{7}{8} F + \frac{1}{8} f$.
Показания первого динамометра -
$\frac{f + T_{1} }{2} = \frac{15}{16} f + \frac{1}{16} F$,
второго -
$\frac{F + T_{2} }{2} = \frac{1}{16} f + \frac{15}{16} F$.
