Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12951
2020-02-08 
По гладкому горизонтальному столу свободно скользит прямая однородная палочка длиной $L$. В данный момент скорость одного из копире палочки равна $v$ и составляет угол $\alpha$ с палочкой, а скорость другого конца по величине равна $2v$. Найдите скорость центра палочки и ускорения ее концов.
Решение:
Из условия задачи ясно, что силы трения на палочку не действуют. Значит, центр масс (для однородной палочки - ее середина) движется с постоянной по величине и направлению скоростью и угловая скорость вращения палочки также неизменна.
Проекции скоростей концов палочки на ее направление должны быть равны друг другу в любой момент, поэтому (рис.)
$v \cos \alpha = 2 v \cos \beta$, и $\cos \beta = \frac{1}{2} \cos \alpha$.
На рисунке скорости концов палочки разложены на удобные направления - вдоль палочки и перпендикулярно ей. Скорость центра тоже выразим через ее проекции. Вдоль палочки это $v \cos \alpha$, а перпендикулярно ей -
$\frac{v \sin \alpha + 2v \sin \beta }{2} = v \left ( \frac{1}{2} \sin \alpha + \sqrt{1 - \frac{1}{4} \cos^{2} \alpha } \right ) = \frac{1}{2}v ( \sin \alpha + \sqrt{4 - \cos^{2} \alpha } )$.
Теперь легко найти угловую скорость вращения палочки. Поскольку скорость "верхнего" конца относительно центра равна $\frac{1}{2}v ( \sqrt{4 - \cos^{2} \alpha } - \sin \alpha )$, угловая скорость равна
$\omega = \frac{ \frac{v}{2} ( \sqrt{4 - \cos^{2} \alpha } - \sin \alpha ) }{ \frac{L}{2} } = \frac{v( \sqrt{4 - \cos^{2} \alpha } - \sin \alpha ) }{L}$.
Ускорения концов одинаковы и составляют
$\omega^{2} \frac{L}{2} = \frac{v^{2} ( \sqrt{4 - \cos^{2} \alpha } )^{2} - \sin \alpha }{2L}$.
По гладкому горизонтальному столу свободно скользит прямая однородная палочка длиной $L$. В данный момент скорость одного из копире палочки равна $v$ и составляет угол $\alpha$ с палочкой, а скорость другого конца по величине равна $2v$. Найдите скорость центра палочки и ускорения ее концов.
Решение:
Из условия задачи ясно, что силы трения на палочку не действуют. Значит, центр масс (для однородной палочки - ее середина) движется с постоянной по величине и направлению скоростью и угловая скорость вращения палочки также неизменна.
Проекции скоростей концов палочки на ее направление должны быть равны друг другу в любой момент, поэтому (рис.)
$v \cos \alpha = 2 v \cos \beta$, и $\cos \beta = \frac{1}{2} \cos \alpha$.
На рисунке скорости концов палочки разложены на удобные направления - вдоль палочки и перпендикулярно ей. Скорость центра тоже выразим через ее проекции. Вдоль палочки это $v \cos \alpha$, а перпендикулярно ей -
$\frac{v \sin \alpha + 2v \sin \beta }{2} = v \left ( \frac{1}{2} \sin \alpha + \sqrt{1 - \frac{1}{4} \cos^{2} \alpha } \right ) = \frac{1}{2}v ( \sin \alpha + \sqrt{4 - \cos^{2} \alpha } )$.
Теперь легко найти угловую скорость вращения палочки. Поскольку скорость "верхнего" конца относительно центра равна $\frac{1}{2}v ( \sqrt{4 - \cos^{2} \alpha } - \sin \alpha )$, угловая скорость равна
$\omega = \frac{ \frac{v}{2} ( \sqrt{4 - \cos^{2} \alpha } - \sin \alpha ) }{ \frac{L}{2} } = \frac{v( \sqrt{4 - \cos^{2} \alpha } - \sin \alpha ) }{L}$.
Ускорения концов одинаковы и составляют
$\omega^{2} \frac{L}{2} = \frac{v^{2} ( \sqrt{4 - \cos^{2} \alpha } )^{2} - \sin \alpha }{2L}$.
