Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1295
2016-10-21 
Тонкий невесомый диэлектрический стержень длиной $L$ может свободно вращаться в горизонтальном положении вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. На концах стержня закреплены два маленьких шарика, имеющих массу $m$ и заряд $q$. Вся эта система помещена между цилиндрическими полюсами электромагнита, создающего однородное вертикальное магнитное поле с индукцией $B_{0}$. Диаметр полюсов равен $d < L$, а их ось совпадает с осью вращения стержня (см. рисунок; обмотки электромагнита и его ферромагнитный сердечник, замыкающий полюса, не показаны). Магнитное поле равномерно уменьшают до нулевого значения. Найдите угловую скорость, которую приобретёт стержень после выключения магнитного поля. Считайте, что поле было только между полюсами магнита.
Решение:
Выясним сначала, почему стержень начнёт вращаться. Рассмотрим воображаемый круговой контур, по которому движутся заряды при вращении стержня вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. При выключении магнитного поля магнитный поток через этот контур уменьшается, что приводит к возникновению вихревого электрического поля. Это поле действует на заряды и разгоняет их. Данный процесс для простоты понимания можно представлять себе так, как будто вместо воображаемого контура имеется проводящее кольцо, содержащее всего два носителя заряда. Тогда при выключении магнитного поля в проводнике будет возникать ЭДС индукции, и потечёт ток, то есть заряды придут в движение.
Для решения задачи прежде всего найдём ЭДС индукции $\mathcal{E}$. По условию однородное магнитное поле в любой момент времени сосредоточено между полюсами электромагнита и строго вертикально. По закону электромагнитной индукции
$\mathcal{E} = - \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = - S \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
Здесь $\Phi = SB$ — магнитный поток через контур, $S = \pi d^{2}/4$ — площадь торцевого сечения полюса электромагнита, $B$ — мгновенное значение индукции магнитного поля. По условию магнитное поле равномерно уменьшается от значения $B_{0}$ до нуля; пусть это происходит за время $\tau$:
$B = B_{0} - \frac{B_{0}}{ \tau} t$.
Отсюда $\frac{ \Delta B}{ \Delta t} = - \frac{B_{0}}{ \tau}$, и для ЭДС индукции получаем:
$\mathcal{E} = \frac{ \pi d^{2}B_{0}}{4 \tau}$.
С другой стороны, ЭДС по определению есть отношение работы $A_{стор}$ совершаемой сторонними силами $F_{стор}$ ПРИ перемещении пробного заряда, к его величине $q_{проб}$. В нашем случае появление ЭДС индукции связано с возникновением вихревого электрического поля, которое и совершает работу. Значит,
$\mathcal{E} = \frac{A_{стор}}{q} = \frac{F_{стор}}{q} \cdot \pi L = E \pi L$.
Здесь $E$ — напряжённость вихревого электрического поля. Приравнивая два полученных выражения для $\mathcal{E}$, найдём $E$:
$E = \frac{d^{2}B_{0}}{4 \tau L}$.
Так как система симметрична, то для нахождения угловой скорости вращения стержня можно рассмотреть только один заряд. На этот заряд в вихревом электрическом поле действует сила $F = qE$, направленная по касательной к окружности, по которой он движется. В соответствии со вторым законом Ньютона эта сила приводит к появлению тангенциального (касательного) ускорения, которое равно
$a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} = \frac{qd^{2}B_{0}}{4m \tau L}$.
В течение времени $\tau$, за которое происходит уменьшение магнитного поля, заряды движутся по окружности с этим ускорением и приобретают линейную скорость
$v = a \tau = \frac{qd^{2}B_{0}}{4mL}$.
Этой линейной скорости зарядов соответствует искомая угловая скорость стержня
$\omega = \frac{v}{L/2} = \frac{qd^{2}B_{0}}{2mL^{2}}$.
Тонкий невесомый диэлектрический стержень длиной $L$ может свободно вращаться в горизонтальном положении вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. На концах стержня закреплены два маленьких шарика, имеющих массу $m$ и заряд $q$. Вся эта система помещена между цилиндрическими полюсами электромагнита, создающего однородное вертикальное магнитное поле с индукцией $B_{0}$. Диаметр полюсов равен $d < L$, а их ось совпадает с осью вращения стержня (см. рисунок; обмотки электромагнита и его ферромагнитный сердечник, замыкающий полюса, не показаны). Магнитное поле равномерно уменьшают до нулевого значения. Найдите угловую скорость, которую приобретёт стержень после выключения магнитного поля. Считайте, что поле было только между полюсами магнита.
Решение:
Выясним сначала, почему стержень начнёт вращаться. Рассмотрим воображаемый круговой контур, по которому движутся заряды при вращении стержня вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. При выключении магнитного поля магнитный поток через этот контур уменьшается, что приводит к возникновению вихревого электрического поля. Это поле действует на заряды и разгоняет их. Данный процесс для простоты понимания можно представлять себе так, как будто вместо воображаемого контура имеется проводящее кольцо, содержащее всего два носителя заряда. Тогда при выключении магнитного поля в проводнике будет возникать ЭДС индукции, и потечёт ток, то есть заряды придут в движение.
Для решения задачи прежде всего найдём ЭДС индукции $\mathcal{E}$. По условию однородное магнитное поле в любой момент времени сосредоточено между полюсами электромагнита и строго вертикально. По закону электромагнитной индукции
$\mathcal{E} = - \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = - S \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
Здесь $\Phi = SB$ — магнитный поток через контур, $S = \pi d^{2}/4$ — площадь торцевого сечения полюса электромагнита, $B$ — мгновенное значение индукции магнитного поля. По условию магнитное поле равномерно уменьшается от значения $B_{0}$ до нуля; пусть это происходит за время $\tau$:
$B = B_{0} - \frac{B_{0}}{ \tau} t$.
Отсюда $\frac{ \Delta B}{ \Delta t} = - \frac{B_{0}}{ \tau}$, и для ЭДС индукции получаем:
$\mathcal{E} = \frac{ \pi d^{2}B_{0}}{4 \tau}$.
С другой стороны, ЭДС по определению есть отношение работы $A_{стор}$ совершаемой сторонними силами $F_{стор}$ ПРИ перемещении пробного заряда, к его величине $q_{проб}$. В нашем случае появление ЭДС индукции связано с возникновением вихревого электрического поля, которое и совершает работу. Значит,
$\mathcal{E} = \frac{A_{стор}}{q} = \frac{F_{стор}}{q} \cdot \pi L = E \pi L$.
Здесь $E$ — напряжённость вихревого электрического поля. Приравнивая два полученных выражения для $\mathcal{E}$, найдём $E$:
$E = \frac{d^{2}B_{0}}{4 \tau L}$.
Так как система симметрична, то для нахождения угловой скорости вращения стержня можно рассмотреть только один заряд. На этот заряд в вихревом электрическом поле действует сила $F = qE$, направленная по касательной к окружности, по которой он движется. В соответствии со вторым законом Ньютона эта сила приводит к появлению тангенциального (касательного) ускорения, которое равно
$a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} = \frac{qd^{2}B_{0}}{4m \tau L}$.
В течение времени $\tau$, за которое происходит уменьшение магнитного поля, заряды движутся по окружности с этим ускорением и приобретают линейную скорость
$v = a \tau = \frac{qd^{2}B_{0}}{4mL}$.
Этой линейной скорости зарядов соответствует искомая угловая скорость стержня
$\omega = \frac{v}{L/2} = \frac{qd^{2}B_{0}}{2mL^{2}}$.
