Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12946
2020-02-08 
Мотор на берегу равномерно наматывает на вал веревку, с помощью которой подтягивается к берегу лодка. В данный момент веревка составляет угол $\alpha$ с горизонтом, а скорость лодки равна $v$. На веревке завязан небольшой узелок - в указанный момент он вдвое ближе к носу лодки, чем к валу, на который наматывается веревка. Найдите скорость и ускорение узелка в данный момент времени.
Решение:
Скорость лодки направлена вдоль поверхности воды (см. рисунок), проекция этой скорости на направление веревки (нити) равна постоянной по величине скорости наматывания нити на барабан $v_{0}$:
$v_{0} = v \cos \alpha$.
За малый интервал времени $\Delta t$ нить повернется на малый угол
$\Delta \alpha = \frac{v \Delta t \sin \alpha}{L}$.
Угловая скорость "вращения" нити равна
$\omega = \frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t} = \frac{v \sin \alpha}{L}$.
Скорость узелка можно представить в виде векторной суммы поступательной скорости (вдоль нити), равной $v_{0}$, и линейной скорости вращательного движения, равной (с учетом расположения узелка в интересующий нас момент)
$v_{1} = \frac{2}{3} L \omega = \frac{2}{3} v \sin \alpha$.
Полная скорость узелка в заданный момент будет равна
$v_{2} = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{1}^{2} } = \sqrt{v^{2} \cos^{2} \alpha + \frac{4}{9} v^{2} \sin^{2} \alpha } = \frac{v}{3} \sqrt{ 9 \cos^{2} \alpha + 4 \sin^{2} \alpha }$.
Для нахождения ускорения нам придется задать дополнительную величину, не указанную в условии (из заданных скорости и угла никак не удастся "составить" ускорение - размерность не позволит). Пусть нам известна высота блока $H$ над поверхностью воды - размеры блока будем считать малыми. Ускорение узелка можно представить в виде векторной суммы трех ускорений: первое связано с поворотом вектора $\vec{v}_{0}$, второе - с поворотом вектора $\vec{v}_{1}$ и третье - с увеличением модуля скорости $\vec{v}_{1}$. Первое ускорение - оно перпендикулярно вектору скорости $\vec{v}_{0}$ - равно
$a_{1} = v_{0} \omega = v_{0} \frac{v \sin \alpha}{L} = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{H \cos \alpha}$.
Второе ускорение перпендикулярно линейной скорости вращательного движения, т.е. направлено вдоль нити, и равно
$a_{2} = v_{1} \omega = \frac{2}{3} v \sin \alpha \frac{v \sin \alpha}{L} = \frac{2}{3} \frac{v_{0}^{2} \sin^{3} \alpha }{3H \cos^{2} \alpha }$.
Третье ускорение направлено вдоль скорости $\vec{v}_{1}$, т.е. перпендикулярно нити, и равно
$a_{3} = \frac{2}{3} \frac{ v_{0}tg ( \alpha + \Delta \alpha) - v_{0} tg \alpha }{ \Delta t} = \frac{2}{3} \frac{v_{0} \sin \Delta \alpha }{ \cos^{2} \alpha \cdot \Delta t } = \frac{2}{3} \frac{v_{0} \omega }{ \cos^{2} \alpha } = \frac{2}{3} \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{H \cos^{3} \alpha }$.
Сложим, с учетом знаков, все ускорения и найдем модуль полного ускорения узелка:
$a = \sqrt{(a_{1} - a_{3} )^{2} + a_{2}^{2} } = \frac{2}{3} \frac{ v^{2} \sin^{2} \alpha }{H} \sqrt{ \frac{(1,5 \cos^{2} \alpha - 1 )^{2} }{ \cos^{2} \alpha } + \sin^{2} \alpha }$.
Мотор на берегу равномерно наматывает на вал веревку, с помощью которой подтягивается к берегу лодка. В данный момент веревка составляет угол $\alpha$ с горизонтом, а скорость лодки равна $v$. На веревке завязан небольшой узелок - в указанный момент он вдвое ближе к носу лодки, чем к валу, на который наматывается веревка. Найдите скорость и ускорение узелка в данный момент времени.
Решение:
Скорость лодки направлена вдоль поверхности воды (см. рисунок), проекция этой скорости на направление веревки (нити) равна постоянной по величине скорости наматывания нити на барабан $v_{0}$:
$v_{0} = v \cos \alpha$.
За малый интервал времени $\Delta t$ нить повернется на малый угол
$\Delta \alpha = \frac{v \Delta t \sin \alpha}{L}$.
Угловая скорость "вращения" нити равна
$\omega = \frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t} = \frac{v \sin \alpha}{L}$.
Скорость узелка можно представить в виде векторной суммы поступательной скорости (вдоль нити), равной $v_{0}$, и линейной скорости вращательного движения, равной (с учетом расположения узелка в интересующий нас момент)
$v_{1} = \frac{2}{3} L \omega = \frac{2}{3} v \sin \alpha$.
Полная скорость узелка в заданный момент будет равна
$v_{2} = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{1}^{2} } = \sqrt{v^{2} \cos^{2} \alpha + \frac{4}{9} v^{2} \sin^{2} \alpha } = \frac{v}{3} \sqrt{ 9 \cos^{2} \alpha + 4 \sin^{2} \alpha }$.
Для нахождения ускорения нам придется задать дополнительную величину, не указанную в условии (из заданных скорости и угла никак не удастся "составить" ускорение - размерность не позволит). Пусть нам известна высота блока $H$ над поверхностью воды - размеры блока будем считать малыми. Ускорение узелка можно представить в виде векторной суммы трех ускорений: первое связано с поворотом вектора $\vec{v}_{0}$, второе - с поворотом вектора $\vec{v}_{1}$ и третье - с увеличением модуля скорости $\vec{v}_{1}$. Первое ускорение - оно перпендикулярно вектору скорости $\vec{v}_{0}$ - равно
$a_{1} = v_{0} \omega = v_{0} \frac{v \sin \alpha}{L} = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{H \cos \alpha}$.
Второе ускорение перпендикулярно линейной скорости вращательного движения, т.е. направлено вдоль нити, и равно
$a_{2} = v_{1} \omega = \frac{2}{3} v \sin \alpha \frac{v \sin \alpha}{L} = \frac{2}{3} \frac{v_{0}^{2} \sin^{3} \alpha }{3H \cos^{2} \alpha }$.
Третье ускорение направлено вдоль скорости $\vec{v}_{1}$, т.е. перпендикулярно нити, и равно
$a_{3} = \frac{2}{3} \frac{ v_{0}tg ( \alpha + \Delta \alpha) - v_{0} tg \alpha }{ \Delta t} = \frac{2}{3} \frac{v_{0} \sin \Delta \alpha }{ \cos^{2} \alpha \cdot \Delta t } = \frac{2}{3} \frac{v_{0} \omega }{ \cos^{2} \alpha } = \frac{2}{3} \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{H \cos^{3} \alpha }$.
Сложим, с учетом знаков, все ускорения и найдем модуль полного ускорения узелка:
$a = \sqrt{(a_{1} - a_{3} )^{2} + a_{2}^{2} } = \frac{2}{3} \frac{ v^{2} \sin^{2} \alpha }{H} \sqrt{ \frac{(1,5 \cos^{2} \alpha - 1 )^{2} }{ \cos^{2} \alpha } + \sin^{2} \alpha }$.
