Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12943
2020-02-08 
Три параллельных тонких непроводящих стержня находятся в горизонтальной плоскости; расстояние между соседними стержнями $d$ (см. рисунок). На стержни насажены тяжелые шайбы массой $M$ каждая, заряженные одинаковыми зарядами $Q$. В начальный момент три из них неподвижны и находятся на прямой, перпендикулярной стержням, а четвертая движется издали по среднему стержню со скоростью $v_{0}$. Найдите скорости шайб через большой промежуток времени. Трения нет.
Решение:
Три расположенные рядом шайбы находятся в состоянии неустойчивого равновесия. Будем считать, что именно налетающая шайба из этого равновесия их выведет. Разлет трех шайб будем рассчитывать без учета импульса и энергии налетающей шайбы - она находится далеко и только нарушает равновесие. Для начала нужно посчитать энергию взаимодействия средней и двух крайних шайб - она равна
$W = \frac{2kQ^{2}}{d}$
(расчет простой - перенесем по очереди три шайбы из бесконечности в заданные точки и просуммируем совершенные работы). На среднюю шайбу со стороны налетающей шайбы действует чуть большая сила, чем на две другие, поэтому предположим, что вначале она смещается чуть вправо относительно других двух шайб (строго говоря, неустойчивое равновесие вещь деликатная, нужно было бы рассмотреть все возможные варианты, но это сделало бы решение чересчур громоздким). Таким образом, после разлета крайние шайбы полетят влево, а средняя - вправо. Обозначим скорости крайних шайб $u$, тогда скорость средней будет $2u$ (закон сохранения импульса). Из закона сохранения энергии
$W = \frac{2Mu^{2} }{2} + \frac{M(2u)^{2} }{2} = 3Mu^{2}$
находим
$u = \sqrt{ \frac{2kQ^{2} }{3Md}}$.
Теперь рассмотрим взаимодействие налетающей (движущейся по среднему стержню) шайбы и движущихся навстречу двух крайних шайб. После их взаимодействия и разлета на большие расстояния электрическим взаимодействием между ними можно пренебречь (крайние шайбы по-прежнему летят дуплетом), а сумма кинетических энергий остается неизменной. Скорости теперь можно найти из законов сохранения импульса и энергии, нужно только определить, пролетит ли шайба между парой крайних или отразится. Найдем граничное значение скорости налетающей шайбы $v_{гр}$, при котором она отразится. Для этого учтем, что в граничном случае скорости выстроившихся в линию шайб будут равны между собой, и найдем их из закона сохранения импульса:
$Mv_{гр} - 2Mu = 3Mv$, и $v = \frac{v_{гр} - 2u }{3}$.
Разность начальной и конечной кинетических энергий будет равна уже вычисленной величине $W$:
$\frac{1}{2} Mv_{гр}^{2} + Mu^{2} - \frac{3}{2} Mv^{2} = W$.
Отсюда получаем $v_{гр} = 2u$.
Если скорость налетающей шайбы будет больше граничного значения $v_{гр}$, после разлета скорости шайб сохраняются (они как бы пролетают друг сквозь друга) и нужно будет рассчитывать и взаимодействие между улетевшей со скоростью $2u$ средней шайбой и налетающей. Впрочем, это совсем простая задача - при равенстве масс взаимодействующих тел шайбы просто обменяются скоростями, как будто налетающая шайба пролетела насквозь.
Если же скорость налетающей шайбы меньше вычисленного значения $v_{гр}$, нужно будет решать простую задачу про упругий удар налетающей шайбы и дуплета. Обозначив скорости через $v_{1}$ и $v_{2}$, запишем законы сохранения импульса н энергии:
$Mv_{0} - 2Mu = Mv_{1} + 2Mv_{2}, Mv_{0}^{2} + 2Mu^{2} = Mv_{1}^{2} + 2Mv_{2}^{2}$
и получим
$v_{1} = - \frac{v_{0} + 4u }{3}$ и $v_{2} = \frac{2v_{0} - u }{3}$.
Три параллельных тонких непроводящих стержня находятся в горизонтальной плоскости; расстояние между соседними стержнями $d$ (см. рисунок). На стержни насажены тяжелые шайбы массой $M$ каждая, заряженные одинаковыми зарядами $Q$. В начальный момент три из них неподвижны и находятся на прямой, перпендикулярной стержням, а четвертая движется издали по среднему стержню со скоростью $v_{0}$. Найдите скорости шайб через большой промежуток времени. Трения нет.
Решение:
Три расположенные рядом шайбы находятся в состоянии неустойчивого равновесия. Будем считать, что именно налетающая шайба из этого равновесия их выведет. Разлет трех шайб будем рассчитывать без учета импульса и энергии налетающей шайбы - она находится далеко и только нарушает равновесие. Для начала нужно посчитать энергию взаимодействия средней и двух крайних шайб - она равна
$W = \frac{2kQ^{2}}{d}$
(расчет простой - перенесем по очереди три шайбы из бесконечности в заданные точки и просуммируем совершенные работы). На среднюю шайбу со стороны налетающей шайбы действует чуть большая сила, чем на две другие, поэтому предположим, что вначале она смещается чуть вправо относительно других двух шайб (строго говоря, неустойчивое равновесие вещь деликатная, нужно было бы рассмотреть все возможные варианты, но это сделало бы решение чересчур громоздким). Таким образом, после разлета крайние шайбы полетят влево, а средняя - вправо. Обозначим скорости крайних шайб $u$, тогда скорость средней будет $2u$ (закон сохранения импульса). Из закона сохранения энергии
$W = \frac{2Mu^{2} }{2} + \frac{M(2u)^{2} }{2} = 3Mu^{2}$
находим
$u = \sqrt{ \frac{2kQ^{2} }{3Md}}$.
Теперь рассмотрим взаимодействие налетающей (движущейся по среднему стержню) шайбы и движущихся навстречу двух крайних шайб. После их взаимодействия и разлета на большие расстояния электрическим взаимодействием между ними можно пренебречь (крайние шайбы по-прежнему летят дуплетом), а сумма кинетических энергий остается неизменной. Скорости теперь можно найти из законов сохранения импульса и энергии, нужно только определить, пролетит ли шайба между парой крайних или отразится. Найдем граничное значение скорости налетающей шайбы $v_{гр}$, при котором она отразится. Для этого учтем, что в граничном случае скорости выстроившихся в линию шайб будут равны между собой, и найдем их из закона сохранения импульса:
$Mv_{гр} - 2Mu = 3Mv$, и $v = \frac{v_{гр} - 2u }{3}$.
Разность начальной и конечной кинетических энергий будет равна уже вычисленной величине $W$:
$\frac{1}{2} Mv_{гр}^{2} + Mu^{2} - \frac{3}{2} Mv^{2} = W$.
Отсюда получаем $v_{гр} = 2u$.
Если скорость налетающей шайбы будет больше граничного значения $v_{гр}$, после разлета скорости шайб сохраняются (они как бы пролетают друг сквозь друга) и нужно будет рассчитывать и взаимодействие между улетевшей со скоростью $2u$ средней шайбой и налетающей. Впрочем, это совсем простая задача - при равенстве масс взаимодействующих тел шайбы просто обменяются скоростями, как будто налетающая шайба пролетела насквозь.
Если же скорость налетающей шайбы меньше вычисленного значения $v_{гр}$, нужно будет решать простую задачу про упругий удар налетающей шайбы и дуплета. Обозначив скорости через $v_{1}$ и $v_{2}$, запишем законы сохранения импульса н энергии:
$Mv_{0} - 2Mu = Mv_{1} + 2Mv_{2}, Mv_{0}^{2} + 2Mu^{2} = Mv_{1}^{2} + 2Mv_{2}^{2}$
и получим
$v_{1} = - \frac{v_{0} + 4u }{3}$ и $v_{2} = \frac{2v_{0} - u }{3}$.
