Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12941
2020-02-08 
На горизонтальной поверхности покоится гладкий клин массой $M$ с углом $\alpha$ при основании. Куб такой же массы лежит на столе, касаясь клина (рис.). Коэффициент трения между кубом и столом $\mu$. На клин ставят тележку массой $m$, которая может скользить по клину без трения, и отпускают. Какую скорость приобретет тележка, опустившись на высоту $h$ (при этом она все еще находится на поверхности клина)?
Решение:
Если сила трения достаточна для удержания системы на месте, то скорость тележки будет равна $v = \sqrt{2gh}$. При этом справедливы соотношения
$N = mg \cos \alpha$ и $N \sin \alpha = F_{тр} \leq \mu Mg$,
где $N$ - сила реакции, действующая на тележку со стороны клина.
Если же сила трения недостаточная, в движение придут все тела системы. Представим ускорение тележки в виде суммы (векторной) двух ускорений (рис.): ускорения
$\vec{a}$, с которым тележка движется вместе с клином, и ускорения $\vec{b}$ относительно клина. Запишем уравнения второго закона Ньютона для тележки, в проекциях на направления вдоль клина и перпендикулярно ему, и для клина вместе с кубом, в проекциях на горизонтальное направление:
$mg \sin \alpha = m(b - a \cos \alpha ), mg \cos \alpha - N = ma \sin \alpha$,
$N \sin \alpha - \mu Mg = 2Ma$.
Исключая $N$, находим
$a = g \frac{m \sin \alpha \cos \alpha - \mu M }{2M + m \sin^{2} \alpha }$,
$b = g \sin \alpha \frac{2M + m - \mu M ctg \alpha }{2M + m \sin^{2} \alpha }$.
Время движения тележки вниз равно
$\tau = \sqrt{ \frac{2h}{b \sin \alpha} }$.
Удобно теперь ускорение тележки представить в виде суммы двух перпендикулярных составляющих вдоль и поперек наклонной плоскости, равных
$a_{1} = b - a \cos \alpha = g \sin \alpha$ и $a_{2} = a \sin \alpha$.
Тогда для скорости тележки получаем
$v = \sqrt{ (a_{1} \tau )^{2} + (a_{2} \tau )^{2} } = \tau \sqrt{ (g \sin \alpha )^{2} + (a \sin \alpha)^{2} } = \sqrt{ \frac{2h \sin \alpha }{b} } \sqrt{ g^{2} + a^{2} }$,
или, после подстановки значений для $a$ и $b$,
$v = \frac{ \sqrt{2gh}(m \sin \alpha \cos \alpha - \mu M)}{ \sqrt{(2M + m - \mu M ctg \alpha ) (2M + m \sin^{2} \alpha ) } }$.
На горизонтальной поверхности покоится гладкий клин массой $M$ с углом $\alpha$ при основании. Куб такой же массы лежит на столе, касаясь клина (рис.). Коэффициент трения между кубом и столом $\mu$. На клин ставят тележку массой $m$, которая может скользить по клину без трения, и отпускают. Какую скорость приобретет тележка, опустившись на высоту $h$ (при этом она все еще находится на поверхности клина)?
Решение:
Если сила трения достаточна для удержания системы на месте, то скорость тележки будет равна $v = \sqrt{2gh}$. При этом справедливы соотношения
$N = mg \cos \alpha$ и $N \sin \alpha = F_{тр} \leq \mu Mg$,
где $N$ - сила реакции, действующая на тележку со стороны клина.
Если же сила трения недостаточная, в движение придут все тела системы. Представим ускорение тележки в виде суммы (векторной) двух ускорений (рис.): ускорения
$\vec{a}$, с которым тележка движется вместе с клином, и ускорения $\vec{b}$ относительно клина. Запишем уравнения второго закона Ньютона для тележки, в проекциях на направления вдоль клина и перпендикулярно ему, и для клина вместе с кубом, в проекциях на горизонтальное направление:
$mg \sin \alpha = m(b - a \cos \alpha ), mg \cos \alpha - N = ma \sin \alpha$,
$N \sin \alpha - \mu Mg = 2Ma$.
Исключая $N$, находим
$a = g \frac{m \sin \alpha \cos \alpha - \mu M }{2M + m \sin^{2} \alpha }$,
$b = g \sin \alpha \frac{2M + m - \mu M ctg \alpha }{2M + m \sin^{2} \alpha }$.
Время движения тележки вниз равно
$\tau = \sqrt{ \frac{2h}{b \sin \alpha} }$.
Удобно теперь ускорение тележки представить в виде суммы двух перпендикулярных составляющих вдоль и поперек наклонной плоскости, равных
$a_{1} = b - a \cos \alpha = g \sin \alpha$ и $a_{2} = a \sin \alpha$.
Тогда для скорости тележки получаем
$v = \sqrt{ (a_{1} \tau )^{2} + (a_{2} \tau )^{2} } = \tau \sqrt{ (g \sin \alpha )^{2} + (a \sin \alpha)^{2} } = \sqrt{ \frac{2h \sin \alpha }{b} } \sqrt{ g^{2} + a^{2} }$,
или, после подстановки значений для $a$ и $b$,
$v = \frac{ \sqrt{2gh}(m \sin \alpha \cos \alpha - \mu M)}{ \sqrt{(2M + m - \mu M ctg \alpha ) (2M + m \sin^{2} \alpha ) } }$.
