Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1294
2016-10-21 
Катушка состоит из среднего цилиндра радиусом $r$ и двух крайних цилиндров радиусами $R > r$. Длинный тонкий провод плотно наматывают на катушку следующим образом: сначала обматывают один из крайних цилиндров, а затем продолжают наматывать этот же провод на средний цилиндр в том же направлении, в каком начинали намотку. После завершения намотки катушку кладут на горизонтальный стол, помещённый в однородное постоянное магнитное поле $B$, линии индукции которого параллельны оси катушки. К первому концу провода, лежащему на столе, подсоединяют идеальный вольтметр, а другой конец провода, касающийся неподвижного скользящего контакта, соединённого с вольтметром, начинают тянуть вдоль поверхности стола с постоянной скоростью $v$ в направлении, перпендикулярном оси катушки (см. рисунок). Считая, что катушка катится по столу без проскальзывания, найдите показания вольтметра.
Решение:
В данной ситуации катушка, очевидно, будет катиться в том направлении, в котором тянут второй конец провода. При этом провод будет наматываться на средний цилиндр и сматываться с крайнего цилиндра. Вследствие этого будет изменяться общая площадь контура, пронизываемого магнитным полем, и в контуре возникнет ЭДС индукции, которую и покажет вольтметр. Изменение магнитного потока через контур удобно разбить на две части: первую, связанную с изменением площади обмотки самой катушки, и вторую, связанную с изменением площади той части контура, которая образована подводящими проводами и меняется за счёт движения катушки. Нужно также иметь в виду, что знак потока через вторую часть контура противоположен знаку потока через первую часть, поскольку направления обхода этих контуров противоположны.
Рассмотрим изменение магнитного потока через обмотку катушки. Точка А катушки (см. рис.) движется вдоль стола с постоянной скоростью $v$. Так как проскальзывание отсутствует, то скорость $u$ оси катушки можно найти из соотношения $\frac{v}{R-r} = \frac{u}{R}$, откуда $u = \frac{vR}{R-r}$, а $u-v = \frac{vr}{R-r}$.
Пусть за время $\Delta t$ ось катушки сместилась вдоль стола на расстояние $\Delta L_{1} = u \Delta t$. При этом на средний цилиндр намотается участок провода длиной $\Delta L_{2} = (u — v) \Delta t$, а с крайнего цилиндра смотается участок длиной $\Delta L_{1}$. Изменение потока магнитной индукции через обмотку на крайнем цилиндре при этом равно
$\Delta \Phi_{1} = B \Delta S_{1} = B \pi R^{2} \cdot \frac{ \Delta L_{1}}{2 \pi R} = \frac{BR}{2} \Delta L_{1} = \frac{BRu}{2} \Delta t = \frac{BR^{2}v}{2(R-r)} \Delta t$,
а через обмотку на среднем цилиндре —
$\Delta \Phi_{2} = B \Delta S_{2} = B \pi r^{2} = \frac{Br}{2} \Delta L_{2} = \frac{Br(u-v)}{2} \Delta t = \frac{Br^{2}v}{2(R-r)} \Delta t$,
где $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ — изменения площадей средней и крайней обмоток соответственно. Поток через обмотку на крайнем цилиндре уменьшается, а через обмотку на среднем — увеличивается.
Поток через площадь, ограниченную подводящими проводами, уменьшается за счёт того, что катушка движется вправо со скоростью $u$. При этом за время $\Delta t$ поток уменьшится на величину
$\Delta \Phi_{3} = B(R - r)u \Delta t = BRv \Delta t$.
Следовательно, с учётом противоположного направления обхода двух частей общего контура, величина ЭДС индукции, которую покажет вольтметр, равна
$U = - \frac{ \Delta \Phi_{1}}{ \Delta t} + \frac{ \Delta \Phi_{2}}{ \Delta t} + \frac{ \Delta \Phi_{3}}{ \Delta t} = - \frac{BR^{2}v}{2(R-r)} + \frac{Br^{2}v}{2(R-r)} + BRv = \frac{vB(R-r)}{2}$.
Задачу можно решить и другим, более простым способом, рассматривая не изменение магнитного потока через контуры, а движение проводников в магнитном поле. Заметим, что при движении катушки нескомпенсированная ЭДС возникает только на участке провода, начинающемся в точке касания катушки и стола, и заканчивающемся в точке А. Это следует из того, что все идущие вверх участки намотанного на катушку провода, кроме указанного, имеют соответствующие и идущие вниз участки по другую сторону вертикальной оси симметрии катушки, и возникающие в этих участках провода ЭДС взаимно компенсируются. Остающийся «нескомпенсированным» участок провода имеет длину $R — r$, его начало в любой момент времени покоится, а конец движется вдоль стола со скоростью $v$, причём скорость точек этого воображаемого проводника, лежащих между его началом и концом, равномерно возрастает от 0 до величины $v$. Поэтому средняя скорость этого проводника направлена горизонтально и равна $v_{cp} = v/2$, а возникающая в нём ЭДС равна
$U = B(R - r)v_{ср} = \frac{vB(R-r)}{2}$.
Катушка состоит из среднего цилиндра радиусом $r$ и двух крайних цилиндров радиусами $R > r$. Длинный тонкий провод плотно наматывают на катушку следующим образом: сначала обматывают один из крайних цилиндров, а затем продолжают наматывать этот же провод на средний цилиндр в том же направлении, в каком начинали намотку. После завершения намотки катушку кладут на горизонтальный стол, помещённый в однородное постоянное магнитное поле $B$, линии индукции которого параллельны оси катушки. К первому концу провода, лежащему на столе, подсоединяют идеальный вольтметр, а другой конец провода, касающийся неподвижного скользящего контакта, соединённого с вольтметром, начинают тянуть вдоль поверхности стола с постоянной скоростью $v$ в направлении, перпендикулярном оси катушки (см. рисунок). Считая, что катушка катится по столу без проскальзывания, найдите показания вольтметра.
Решение:
В данной ситуации катушка, очевидно, будет катиться в том направлении, в котором тянут второй конец провода. При этом провод будет наматываться на средний цилиндр и сматываться с крайнего цилиндра. Вследствие этого будет изменяться общая площадь контура, пронизываемого магнитным полем, и в контуре возникнет ЭДС индукции, которую и покажет вольтметр. Изменение магнитного потока через контур удобно разбить на две части: первую, связанную с изменением площади обмотки самой катушки, и вторую, связанную с изменением площади той части контура, которая образована подводящими проводами и меняется за счёт движения катушки. Нужно также иметь в виду, что знак потока через вторую часть контура противоположен знаку потока через первую часть, поскольку направления обхода этих контуров противоположны.
Рассмотрим изменение магнитного потока через обмотку катушки. Точка А катушки (см. рис.) движется вдоль стола с постоянной скоростью $v$. Так как проскальзывание отсутствует, то скорость $u$ оси катушки можно найти из соотношения $\frac{v}{R-r} = \frac{u}{R}$, откуда $u = \frac{vR}{R-r}$, а $u-v = \frac{vr}{R-r}$.
Пусть за время $\Delta t$ ось катушки сместилась вдоль стола на расстояние $\Delta L_{1} = u \Delta t$. При этом на средний цилиндр намотается участок провода длиной $\Delta L_{2} = (u — v) \Delta t$, а с крайнего цилиндра смотается участок длиной $\Delta L_{1}$. Изменение потока магнитной индукции через обмотку на крайнем цилиндре при этом равно
$\Delta \Phi_{1} = B \Delta S_{1} = B \pi R^{2} \cdot \frac{ \Delta L_{1}}{2 \pi R} = \frac{BR}{2} \Delta L_{1} = \frac{BRu}{2} \Delta t = \frac{BR^{2}v}{2(R-r)} \Delta t$,
а через обмотку на среднем цилиндре —
$\Delta \Phi_{2} = B \Delta S_{2} = B \pi r^{2} = \frac{Br}{2} \Delta L_{2} = \frac{Br(u-v)}{2} \Delta t = \frac{Br^{2}v}{2(R-r)} \Delta t$,
где $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ — изменения площадей средней и крайней обмоток соответственно. Поток через обмотку на крайнем цилиндре уменьшается, а через обмотку на среднем — увеличивается.
Поток через площадь, ограниченную подводящими проводами, уменьшается за счёт того, что катушка движется вправо со скоростью $u$. При этом за время $\Delta t$ поток уменьшится на величину
$\Delta \Phi_{3} = B(R - r)u \Delta t = BRv \Delta t$.
Следовательно, с учётом противоположного направления обхода двух частей общего контура, величина ЭДС индукции, которую покажет вольтметр, равна
$U = - \frac{ \Delta \Phi_{1}}{ \Delta t} + \frac{ \Delta \Phi_{2}}{ \Delta t} + \frac{ \Delta \Phi_{3}}{ \Delta t} = - \frac{BR^{2}v}{2(R-r)} + \frac{Br^{2}v}{2(R-r)} + BRv = \frac{vB(R-r)}{2}$.
Задачу можно решить и другим, более простым способом, рассматривая не изменение магнитного потока через контуры, а движение проводников в магнитном поле. Заметим, что при движении катушки нескомпенсированная ЭДС возникает только на участке провода, начинающемся в точке касания катушки и стола, и заканчивающемся в точке А. Это следует из того, что все идущие вверх участки намотанного на катушку провода, кроме указанного, имеют соответствующие и идущие вниз участки по другую сторону вертикальной оси симметрии катушки, и возникающие в этих участках провода ЭДС взаимно компенсируются. Остающийся «нескомпенсированным» участок провода имеет длину $R — r$, его начало в любой момент времени покоится, а конец движется вдоль стола со скоростью $v$, причём скорость точек этого воображаемого проводника, лежащих между его началом и концом, равномерно возрастает от 0 до величины $v$. Поэтому средняя скорость этого проводника направлена горизонтально и равна $v_{cp} = v/2$, а возникающая в нём ЭДС равна
$U = B(R - r)v_{ср} = \frac{vB(R-r)}{2}$.
