Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12934
2020-02-08 
На гладком горизонтальном столе находятся три одинаковые тележки, масса каждой тележки $M$ (см. рисунок). Средняя тележка связана с одной из крайних легкой нитью, а с другой - легкой пружинкой жесткостью $k$. Вначале систему удерживают так, что пружинка не деформирована, а нить не натянута, но практически не провисает. Толчком придадим "подпружиненной" крайней тележке скорость $v_{0}$ вдоль прямой, соединяющей тележки, в направлении от средней. При какой длине нити удар тележек, которые были связаны этой нитью, получится громче всего? Тележки все время двигаются вдоль прямой, пружинка при деформациях подчиняется закону Гука.
Решение:
До некоторого момента нить остается натянутой, и связанные ею тележки едут вместе. После того как скорость этой пары достигнет максимума, нить перестанет быть натянутой и не будет действовать на тележки. В этом случае крайняя левая тележка продолжит движение с постоянной скоростью и до самого удара будет двигаться равномерно. "Самый громкий" удар получится в том случае, когда относительная скорость тележек непосредственно перед ударом будет самой большой. Скорость одной из тележек постоянна; значит, максимальная относительная скорость получается в те моменты, когда вторая тележка имеет максимальную скорость навстречу первой.
Вначале проведем расчет первого этапа - найдем максимальную скорость тележек при натянутой нити. Скорость максимальна (или минимальна) в те моменты, когда пружина не деформирована. Запишем уравнения законов сохранения импульса и энергии всей системы без учета энергии пружины:
$2Mu + Mv = Mv_{0}, 2 \frac{Mu^{2} }{2} + \frac{Mv^{2} }{2} = \frac{Mv_{0}^{2} }{2}$,
откуда найдем скорость $u$ связанных нитью тележек и скорость $v$ правой тележки:
$u = \frac{2v_{0}}{3}, v = - \frac{v_{0} }{3}$.
Дальше крайняя левая тележка едет со скоростью $u$, а тележки с пружиной между ними - отдельно от нее. Скорость центра масс тележек с пружиной составляет $v_{0}/6$, относительно него скорости этих тележек направлены навстречу друг другу и равны по $v_{0}/2$. Ясно, что условие задачи будет выполнено, если удар произойдет в тот момент, когда относительные скорости связанных пружиной тележек равны $v_{0}/2$ и направлены друг от друга. Это произойдет ровно через половину периода колебаний (точнее - через целое число периодов плюс полпериода) тележек с пружиной:
$\tau = \frac{1}{2} T = \pi \sqrt{ \frac{M}{2k} }$.
Удобно вести вычисления в системе отсчета, которая двигается вправо со скоростью $v_{0} /6$ (система центра масс тележек с пружиной). В этой системе свободная левая тележка едет вправо со скоростью $v_{0} /2$, тогда минимальная длина нити (возможны и другие решения - вместо $\tau$ нужно подставлять $nT + \tau$ ) составляет
$L = \frac{1}{2} v_{0} \tau = \frac{ \pi v_{0} }{2} \sqrt{ \frac{M}{2k} }$.
На гладком горизонтальном столе находятся три одинаковые тележки, масса каждой тележки $M$ (см. рисунок). Средняя тележка связана с одной из крайних легкой нитью, а с другой - легкой пружинкой жесткостью $k$. Вначале систему удерживают так, что пружинка не деформирована, а нить не натянута, но практически не провисает. Толчком придадим "подпружиненной" крайней тележке скорость $v_{0}$ вдоль прямой, соединяющей тележки, в направлении от средней. При какой длине нити удар тележек, которые были связаны этой нитью, получится громче всего? Тележки все время двигаются вдоль прямой, пружинка при деформациях подчиняется закону Гука.
Решение:
До некоторого момента нить остается натянутой, и связанные ею тележки едут вместе. После того как скорость этой пары достигнет максимума, нить перестанет быть натянутой и не будет действовать на тележки. В этом случае крайняя левая тележка продолжит движение с постоянной скоростью и до самого удара будет двигаться равномерно. "Самый громкий" удар получится в том случае, когда относительная скорость тележек непосредственно перед ударом будет самой большой. Скорость одной из тележек постоянна; значит, максимальная относительная скорость получается в те моменты, когда вторая тележка имеет максимальную скорость навстречу первой.
Вначале проведем расчет первого этапа - найдем максимальную скорость тележек при натянутой нити. Скорость максимальна (или минимальна) в те моменты, когда пружина не деформирована. Запишем уравнения законов сохранения импульса и энергии всей системы без учета энергии пружины:
$2Mu + Mv = Mv_{0}, 2 \frac{Mu^{2} }{2} + \frac{Mv^{2} }{2} = \frac{Mv_{0}^{2} }{2}$,
откуда найдем скорость $u$ связанных нитью тележек и скорость $v$ правой тележки:
$u = \frac{2v_{0}}{3}, v = - \frac{v_{0} }{3}$.
Дальше крайняя левая тележка едет со скоростью $u$, а тележки с пружиной между ними - отдельно от нее. Скорость центра масс тележек с пружиной составляет $v_{0}/6$, относительно него скорости этих тележек направлены навстречу друг другу и равны по $v_{0}/2$. Ясно, что условие задачи будет выполнено, если удар произойдет в тот момент, когда относительные скорости связанных пружиной тележек равны $v_{0}/2$ и направлены друг от друга. Это произойдет ровно через половину периода колебаний (точнее - через целое число периодов плюс полпериода) тележек с пружиной:
$\tau = \frac{1}{2} T = \pi \sqrt{ \frac{M}{2k} }$.
Удобно вести вычисления в системе отсчета, которая двигается вправо со скоростью $v_{0} /6$ (система центра масс тележек с пружиной). В этой системе свободная левая тележка едет вправо со скоростью $v_{0} /2$, тогда минимальная длина нити (возможны и другие решения - вместо $\tau$ нужно подставлять $nT + \tau$ ) составляет
$L = \frac{1}{2} v_{0} \tau = \frac{ \pi v_{0} }{2} \sqrt{ \frac{M}{2k} }$.
