Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12933
2020-02-08 
На гладкий горизонтально расположенный стержень надеты две одинаковые шайбы массой $M$ каждая, связанные легкой нерастяжимой нитью длиной $2L$ (см. рисунок). К середине нити привязан груз массой $2M$, который вначале удерживают так, что нить не натянута, но практически не провисает. Груз отпускают, и система приходит в движение без рывка. Найдите максимальные значения скоростей шайб и груза в процессе движения. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Легко связать скорости тел (нить нерастяжима):
$v \sin \alpha = u \cos \alpha$, или $v = u ctg \alpha$,
где $v$ - скорость каждой шайбы, $u$ - скорость груза, $\alpha$ - угол между стержнем и вертикалью. Ясно, что шайбы все время ускоряются (проекция силы натяжения нити на направление движения шайбы все время положительна), и максимальную скорость $v_{m}$ шайбы будут иметь непосредственно перед ударом. Скорость груза перед ударом шайб падает до нуля; тогда из закона сохранения энергии
$2 \frac{Mv_{m}^{2} }{2} = 2M \cdot gL$
можно получить
$v_{m} = \sqrt{2gL}$.
Определим теперь максимальную скорость груза $u_{m}$ во время движения. Выразим эту скорость в виде функции угла $\alpha$ и найдем максимум этой функции. Согласно закону сохранения энергии,
$2 \frac{Mv^{2}}{2} + \frac{2M u^{2} }{2} = 2M \cdot gL \cos \alpha$,
или
$u^{2} = \frac{2gL \cos \alpha}{1 + ctg^{2} \alpha } = 2gL \cos \alpha \sin^{2} \alpha$.
Тут можно сразу найти максимум, например через производную, но можно это обойти при помощи простого приема - рассматривая движение шайбы в системе отсчета, связанной с грузом (в районе максимума скорости груза его ускорение практически равно нулю, и система получается "хорошей" - инерциальной). В этой системе отсчета шайба движется по окружности радиусом $L$ со скоростью $V = u/ \sin \alpha$. Ускорение шайбы направлено вдоль стержня, поэтому сумма проекций сил в перпендикулярном стержню направлении равна нулю:
$Mg + T \cos \alpha - N = 0$,
где $T$ - натяжение нити, $N$ - реакция опоры стержня. В направлении вдоль нити получим
$T + Mg \cos \alpha - N \cos \alpha = \frac{MV^{2} }{L}$.
Кроме того, при максимуме скорости груза должны быть уравновешены действующие на него силы:
$2T \cos \alpha = 2Mg$.
Отсюда получим
$T \sin^{2} \alpha = \frac{Mu^{2} }{L \sin^{2} \alpha }$.
Приравнивая два полученных выражения для $u^{2}$, найдем
$\sin^{2} \alpha = \frac{2}{3}$.
Подставляя это значение в выражение для квадрата искомой скорости груза, получим
$u_{m} = \sqrt{ \frac{4gL}{3 \sqrt{3} } } = 2 \sqrt{ \frac{gL}{3 \sqrt{3} } }$.
На гладкий горизонтально расположенный стержень надеты две одинаковые шайбы массой $M$ каждая, связанные легкой нерастяжимой нитью длиной $2L$ (см. рисунок). К середине нити привязан груз массой $2M$, который вначале удерживают так, что нить не натянута, но практически не провисает. Груз отпускают, и система приходит в движение без рывка. Найдите максимальные значения скоростей шайб и груза в процессе движения. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Легко связать скорости тел (нить нерастяжима):
$v \sin \alpha = u \cos \alpha$, или $v = u ctg \alpha$,
где $v$ - скорость каждой шайбы, $u$ - скорость груза, $\alpha$ - угол между стержнем и вертикалью. Ясно, что шайбы все время ускоряются (проекция силы натяжения нити на направление движения шайбы все время положительна), и максимальную скорость $v_{m}$ шайбы будут иметь непосредственно перед ударом. Скорость груза перед ударом шайб падает до нуля; тогда из закона сохранения энергии
$2 \frac{Mv_{m}^{2} }{2} = 2M \cdot gL$
можно получить
$v_{m} = \sqrt{2gL}$.
Определим теперь максимальную скорость груза $u_{m}$ во время движения. Выразим эту скорость в виде функции угла $\alpha$ и найдем максимум этой функции. Согласно закону сохранения энергии,
$2 \frac{Mv^{2}}{2} + \frac{2M u^{2} }{2} = 2M \cdot gL \cos \alpha$,
или
$u^{2} = \frac{2gL \cos \alpha}{1 + ctg^{2} \alpha } = 2gL \cos \alpha \sin^{2} \alpha$.
Тут можно сразу найти максимум, например через производную, но можно это обойти при помощи простого приема - рассматривая движение шайбы в системе отсчета, связанной с грузом (в районе максимума скорости груза его ускорение практически равно нулю, и система получается "хорошей" - инерциальной). В этой системе отсчета шайба движется по окружности радиусом $L$ со скоростью $V = u/ \sin \alpha$. Ускорение шайбы направлено вдоль стержня, поэтому сумма проекций сил в перпендикулярном стержню направлении равна нулю:
$Mg + T \cos \alpha - N = 0$,
где $T$ - натяжение нити, $N$ - реакция опоры стержня. В направлении вдоль нити получим
$T + Mg \cos \alpha - N \cos \alpha = \frac{MV^{2} }{L}$.
Кроме того, при максимуме скорости груза должны быть уравновешены действующие на него силы:
$2T \cos \alpha = 2Mg$.
Отсюда получим
$T \sin^{2} \alpha = \frac{Mu^{2} }{L \sin^{2} \alpha }$.
Приравнивая два полученных выражения для $u^{2}$, найдем
$\sin^{2} \alpha = \frac{2}{3}$.
Подставляя это значение в выражение для квадрата искомой скорости груза, получим
$u_{m} = \sqrt{ \frac{4gL}{3 \sqrt{3} } } = 2 \sqrt{ \frac{gL}{3 \sqrt{3} } }$.
