Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1292
2016-10-21 
Маленький шарик массой $m$ с зарядом $q$ падал в вязкой среде вдоль вертикальной прямой с постоянной скоростью $v$. В некоторый момент включили постоянное однородное горизонтальное магнитное поле, и через достаточно большое время после этого шарик стал двигаться с другой постоянной скоростью таким образом, что количество теплоты, выделяющейся в вязкой среде в единицу времени, уменьшилось в $n$ раз по сравнению с движением в отсутствие магнитного поля. Найдите, при какой максимальной величине индукции $B$ магнитного поля такое движение возможно. Вид зависимости силы вязкого трения от скорости неизвестен.
Решение:
При движении шарика в отсутствие магнитного поля в среде в единицу времени выделялось постоянное количество теплоты $Q_{1} = mgv$. Из условия постоянства тепловых потерь в единицу времени в обоих случаях следует, что через очень большое время после включения магнитного поля шарик будет двигаться с постоянной скоростью. Поскольку движение происходит в вязкой среде, то через очень большое время оно станет прямолинейным и равномерным. Следовательно, сумма сил тяжести, вязкости и силы Лоренца будет при этом равна нулю. Обозначим скорость движения шарика при наличии магнитного поля через $u$. Из рисунка видно, что шарик будет двигаться по прямой, составляющей с вертикалью угол $\alpha$, причём
$\sin \alpha = \frac{quB}{mg}$.
Так как сила Лоренца не совершает работы, то количество тепла, выделяющееся в единицу времени, равно работе, которую совершает за это время сила тяжести:
$Q_{2} = mgu \cos \alpha$. По условию задачи $Q_{1}/Q_{2} = n$, то есть
$mgv = nmgu \cos \alpha$.
Исключая из записанных уравнений угол $\alpha$, получаем уравнение относительно скорости и:
$n^{2}q^{2}B^{2}u^{4} - n^{2}m^{2}g^{2}u^{2} + m^{2}g^{2}v^{2} = 0$.
Решая его, находим:
$u_{1,2}^{2} = \frac{mg}{2nq^{2}B^{2}} \left ( mgn \pm \sqrt{ m^{2}g^{2}n^{2} -4q^{2}v^{2}B^{2}} \right )$.
Видно, что решение существует при условии $m^{2}g^{2}n^{2} - 4q^{2}v^{2}B^{2} \geq 0$, откуда $B \leq \frac{mgn}{2qv}$. Таким образом, описанное в условии задачи движение возможно при максимальном значении индукции магнитного поля
$B_{max} = \frac{mgn}{2qv}$.
Маленький шарик массой $m$ с зарядом $q$ падал в вязкой среде вдоль вертикальной прямой с постоянной скоростью $v$. В некоторый момент включили постоянное однородное горизонтальное магнитное поле, и через достаточно большое время после этого шарик стал двигаться с другой постоянной скоростью таким образом, что количество теплоты, выделяющейся в вязкой среде в единицу времени, уменьшилось в $n$ раз по сравнению с движением в отсутствие магнитного поля. Найдите, при какой максимальной величине индукции $B$ магнитного поля такое движение возможно. Вид зависимости силы вязкого трения от скорости неизвестен.
Решение:
При движении шарика в отсутствие магнитного поля в среде в единицу времени выделялось постоянное количество теплоты $Q_{1} = mgv$. Из условия постоянства тепловых потерь в единицу времени в обоих случаях следует, что через очень большое время после включения магнитного поля шарик будет двигаться с постоянной скоростью. Поскольку движение происходит в вязкой среде, то через очень большое время оно станет прямолинейным и равномерным. Следовательно, сумма сил тяжести, вязкости и силы Лоренца будет при этом равна нулю. Обозначим скорость движения шарика при наличии магнитного поля через $u$. Из рисунка видно, что шарик будет двигаться по прямой, составляющей с вертикалью угол $\alpha$, причём
$\sin \alpha = \frac{quB}{mg}$.
Так как сила Лоренца не совершает работы, то количество тепла, выделяющееся в единицу времени, равно работе, которую совершает за это время сила тяжести:
$Q_{2} = mgu \cos \alpha$. По условию задачи $Q_{1}/Q_{2} = n$, то есть
$mgv = nmgu \cos \alpha$.
Исключая из записанных уравнений угол $\alpha$, получаем уравнение относительно скорости и:
$n^{2}q^{2}B^{2}u^{4} - n^{2}m^{2}g^{2}u^{2} + m^{2}g^{2}v^{2} = 0$.
Решая его, находим:
$u_{1,2}^{2} = \frac{mg}{2nq^{2}B^{2}} \left ( mgn \pm \sqrt{ m^{2}g^{2}n^{2} -4q^{2}v^{2}B^{2}} \right )$.
Видно, что решение существует при условии $m^{2}g^{2}n^{2} - 4q^{2}v^{2}B^{2} \geq 0$, откуда $B \leq \frac{mgn}{2qv}$. Таким образом, описанное в условии задачи движение возможно при максимальном значении индукции магнитного поля
$B_{max} = \frac{mgn}{2qv}$.
