Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12917
2020-02-08 
Два маленьких шарика массой $M$ каждый находятся на расстоянии $L$ друг от друга и имеют одинаковые по величине и противоположно направленные скорости $v_{0}$, перпендикулярные отрезку, соединяющему шарики. Никаких внешних сил нет. Учитывая гравитационное взаимодействие шариков, найдите максимальное расстояние между ними в процессе движения и минимальные скорости шариков.
Решение:
При достаточно большой начальной скорости шариков расстояние между ними будет увеличиваться, а их скорости будут уменьшаться - шарики притягиваются друг к другу. В этом случае максимальное расстояние между шариками соответствует минимальной скорости (в силу симметрии, скорости шариков в любой момент равны друг другу). Если шарики не разлетятся на бесконечное расстояние (а при достаточно большой скорости так и было бы), максимальное расстояние между ними будет в тот момент, когда проекции скоростей на прямую, соединяющую шарики, окажутся равными нулю. Обозначим скорости шариков в этот момент $v$, а расстояние между ними $s$. Тогда из закона сохранения энергии поручим (шариков - два!)
$Mv_{0}^{2} - \frac{GM^{2} }{L} = Mv^{2} - \frac{GM^{2} }{s}$.
В соответствии с законом сохранения момента импульса (или второго закона Кеплера), можно записать
$Mv_{0} L = Mvs$.
Решая эти уравнения совместно, найдем
$s = \frac{L}{ \frac{GM}{Lv_{0}^{2} } - 1 }, v = v_{0} \left ( \frac{GM}{Lv_{0}^{2} } - 1 \right )$.
Проанализируем полученный ответ. Отрицательное значение знаменателя в первой формуле соответствует разлету шариков на бесконечное расстояние, это произойдет при выполнении условия $v_{0}^{2} > \frac{GM}{L}$. Если знаменатель меньше единицы, то все в порядке, а если он больше единицы - то мы нашли минимальное расстояние между шариками (наши уравнения годятся и для минимума и для максимума). В атом случае ответ простой: максимальное расстояние между шариками $L$, а минимальная скорость $v_{0}$. Это соответствует выполнению условия
$\frac{GM}{Lv_{0}^{2} } - 1 > 1$, или $v_{0}^{2} < \frac{GM}{2L}$.
И наконец, если скорости шариков не слишком малы и не очень велики, т.е. лежат в заданных границах, то максимальное расстояние - это $s$, а минимальная скорость - $v$.
Два маленьких шарика массой $M$ каждый находятся на расстоянии $L$ друг от друга и имеют одинаковые по величине и противоположно направленные скорости $v_{0}$, перпендикулярные отрезку, соединяющему шарики. Никаких внешних сил нет. Учитывая гравитационное взаимодействие шариков, найдите максимальное расстояние между ними в процессе движения и минимальные скорости шариков.
Решение:
При достаточно большой начальной скорости шариков расстояние между ними будет увеличиваться, а их скорости будут уменьшаться - шарики притягиваются друг к другу. В этом случае максимальное расстояние между шариками соответствует минимальной скорости (в силу симметрии, скорости шариков в любой момент равны друг другу). Если шарики не разлетятся на бесконечное расстояние (а при достаточно большой скорости так и было бы), максимальное расстояние между ними будет в тот момент, когда проекции скоростей на прямую, соединяющую шарики, окажутся равными нулю. Обозначим скорости шариков в этот момент $v$, а расстояние между ними $s$. Тогда из закона сохранения энергии поручим (шариков - два!)
$Mv_{0}^{2} - \frac{GM^{2} }{L} = Mv^{2} - \frac{GM^{2} }{s}$.
В соответствии с законом сохранения момента импульса (или второго закона Кеплера), можно записать
$Mv_{0} L = Mvs$.
Решая эти уравнения совместно, найдем
$s = \frac{L}{ \frac{GM}{Lv_{0}^{2} } - 1 }, v = v_{0} \left ( \frac{GM}{Lv_{0}^{2} } - 1 \right )$.
Проанализируем полученный ответ. Отрицательное значение знаменателя в первой формуле соответствует разлету шариков на бесконечное расстояние, это произойдет при выполнении условия $v_{0}^{2} > \frac{GM}{L}$. Если знаменатель меньше единицы, то все в порядке, а если он больше единицы - то мы нашли минимальное расстояние между шариками (наши уравнения годятся и для минимума и для максимума). В атом случае ответ простой: максимальное расстояние между шариками $L$, а минимальная скорость $v_{0}$. Это соответствует выполнению условия
$\frac{GM}{Lv_{0}^{2} } - 1 > 1$, или $v_{0}^{2} < \frac{GM}{2L}$.
И наконец, если скорости шариков не слишком малы и не очень велики, т.е. лежат в заданных границах, то максимальное расстояние - это $s$, а минимальная скорость - $v$.
