Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12913
2020-02-08 
Вдали от всех других тел в космосе двигаются два маленьких заряженных шарика, масса одного из них 1 г, другого 2 г. Заряды шариков равны по величине и противоположны по знаку. В данный момент расстояние между шариками 1 м скорость более тяжелого шарика равна 1 м/с и направлена вдоль прямой, соединяющей центры шариков, по направлению от легкого шарика, скорость легкого шарика такая же по величине, но перпендикулярная указанной прямой. При какой величине зарядов шарики при дальнейшем движении побывают дважды на расстоянии 3 м друг от друга? Гравитационным взаимодействием шариков пренебречь.
Решение:
Заряды шариков не должны быть слишком велики иначе шарики просто не разлетятся на расстояние $3a$ (где $a = 1м$), заряды не должны быть и слишком малы иначе шарики вообще разлетелись бы "на бесконечность" и не вернулись друг к другу. Итак, для того чтобы шарики побывали на указанном расстоянии дважды (а в этом случае - и многократно), их заряды должны лежать в определенном интервале. Найдем его "верхнюю" границу - соответствующую случаю, когда максимальное расстояние между шариками составит $3a$. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии - кинетическая энергия шариков уменьшается при разлете и на такую же величину возрастает энергия электростатического взаимодействия зарядов. Однако не вся кинетическая энергия системы перейдет в электрическую - центр масс продолжает двигаться с неизменной скоростью, а шарики кроме "разлета" могут вращаться вокруг центра масс.
Перейдем в систему, связанную с центром масс шариков. Ее скорость удобно представить как сумму двух составляющих - вдоль линии шариков (начальный момент!) с величиной $2v/3$ и перпендикулярно ей с величиной $v/3$.
На рисунке показаны скорости шариков в системе центра масс сразу после начала движения и на максимальном удалении $Зa$ (масштаб на рисунке не соблюдается второй отрезок должен быть в 3 раза длиннее). Во втором случае шарики уже не разлетаются и их скорости перпендикулярны соединяющей их линии. Легко видеть что скорость $v_{1}$ тяжелого шарика во столько раз меньше скорости $v/З$, во сколько раз расстояние до центра масс для этого шарика больше начального, т.е $v_{1} = v/9$. Для легкого шарика эта скорость в два раза больше.
Запишем баланс энергий;
$m \frac{4v^{2} }{9} + 2m \frac{v^{2} }{9} - m \frac{2v^{2} }{81} - 2m \frac{v^{2} }{2 \cdot 81} = \frac{q_{1}^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{a} - \frac{1}{3a} \right )$.
Отсюда получаем
$q_{1} = v \sqrt{ \frac{68 \pi \epsilon_{0} ma }{18} } \approx 0,32 мкКл$.
Аналогично - для величины $q_{2}$, гарантирующей шарики от разлета на бесконечное расстояние. По теперь можно не учитывать в энергии "вращательную" составляющую - при большом расстоянии между шариками она становится пренебрежимо малой, поэтому запишем
$m \frac{4v^{2}}{9} + 2m \frac{v^{2} }{9} = \frac{q_{2}^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} a }$, и $q_{2} = v \sqrt{ \frac{8 \pi \epsilon_{0} ma }{3} } \approx 0,27 мкКл$.
Итак при $q_{1} \geq q \geq q_{2}$ шарики побывают дважды (и еще много раз) на расстоянии 3 м друг от друга.
Вдали от всех других тел в космосе двигаются два маленьких заряженных шарика, масса одного из них 1 г, другого 2 г. Заряды шариков равны по величине и противоположны по знаку. В данный момент расстояние между шариками 1 м скорость более тяжелого шарика равна 1 м/с и направлена вдоль прямой, соединяющей центры шариков, по направлению от легкого шарика, скорость легкого шарика такая же по величине, но перпендикулярная указанной прямой. При какой величине зарядов шарики при дальнейшем движении побывают дважды на расстоянии 3 м друг от друга? Гравитационным взаимодействием шариков пренебречь.
Решение:
Заряды шариков не должны быть слишком велики иначе шарики просто не разлетятся на расстояние $3a$ (где $a = 1м$), заряды не должны быть и слишком малы иначе шарики вообще разлетелись бы "на бесконечность" и не вернулись друг к другу. Итак, для того чтобы шарики побывали на указанном расстоянии дважды (а в этом случае - и многократно), их заряды должны лежать в определенном интервале. Найдем его "верхнюю" границу - соответствующую случаю, когда максимальное расстояние между шариками составит $3a$. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии - кинетическая энергия шариков уменьшается при разлете и на такую же величину возрастает энергия электростатического взаимодействия зарядов. Однако не вся кинетическая энергия системы перейдет в электрическую - центр масс продолжает двигаться с неизменной скоростью, а шарики кроме "разлета" могут вращаться вокруг центра масс.
Перейдем в систему, связанную с центром масс шариков. Ее скорость удобно представить как сумму двух составляющих - вдоль линии шариков (начальный момент!) с величиной $2v/3$ и перпендикулярно ей с величиной $v/3$.
На рисунке показаны скорости шариков в системе центра масс сразу после начала движения и на максимальном удалении $Зa$ (масштаб на рисунке не соблюдается второй отрезок должен быть в 3 раза длиннее). Во втором случае шарики уже не разлетаются и их скорости перпендикулярны соединяющей их линии. Легко видеть что скорость $v_{1}$ тяжелого шарика во столько раз меньше скорости $v/З$, во сколько раз расстояние до центра масс для этого шарика больше начального, т.е $v_{1} = v/9$. Для легкого шарика эта скорость в два раза больше.
Запишем баланс энергий;
$m \frac{4v^{2} }{9} + 2m \frac{v^{2} }{9} - m \frac{2v^{2} }{81} - 2m \frac{v^{2} }{2 \cdot 81} = \frac{q_{1}^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{a} - \frac{1}{3a} \right )$.
Отсюда получаем
$q_{1} = v \sqrt{ \frac{68 \pi \epsilon_{0} ma }{18} } \approx 0,32 мкКл$.
Аналогично - для величины $q_{2}$, гарантирующей шарики от разлета на бесконечное расстояние. По теперь можно не учитывать в энергии "вращательную" составляющую - при большом расстоянии между шариками она становится пренебрежимо малой, поэтому запишем
$m \frac{4v^{2}}{9} + 2m \frac{v^{2} }{9} = \frac{q_{2}^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} a }$, и $q_{2} = v \sqrt{ \frac{8 \pi \epsilon_{0} ma }{3} } \approx 0,27 мкКл$.
Итак при $q_{1} \geq q \geq q_{2}$ шарики побывают дважды (и еще много раз) на расстоянии 3 м друг от друга.
