Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12910
2020-02-08 
На компьютере сделана модель бильярда (си. рисунок), на квадратном гладком горизонтальном столе размером 1x1 м могут двигаться одинаковые шайбы диаметром 1 мм каждая, общее число шайб 10000, вначале компьютер располагает шайбы случайным образом. Один из углов квадрата срезан под углом $45^{ \circ}$, образуя лузу длиной 1 см. Шайба, попавшая в лузу, вылетает со стола. В начальный момент одна из шайб имеет случайно направленную скорость, равную 1 м/с, остальные шайбы неподвижны. Все удары запрограммированы как абсолютно упругие (удары шайб друг о друга не ло6овыег). Через какое время со стола вылетит первая тысяча шайб? Оцените также время, за которое в большинстве экспериментов через лузу вылетят все шайбы
Решение:
Через некоторое время после начала процесса движение шайб "хаотизируется", средняя энергия шайбы составит $\frac{Mv_{0}^{2}}{2N}$ и это даст возможность найти среднюю квадратичную скорость шайбы:
$v = \frac{v_{0} }{ \sqrt{N} } = 0,01 м/с$.
Оценив обычным образом длину свободного пробега шайбы, получим среднее время между ударами:
$\lambda = \frac{a^{2} }{N \cdot 2d} = 0,05 м, \tau = \frac{ \lambda }{ v } = 5 с$,
Отсюда видно, что время "хаотизации" составляет десятки секунд (в начале процесса удары происходят чаще и основной вклад в "разравнивание" скоростей дают удары после того, как скорости шайб уже существенно меньше $v_{0}$). Далее будет видно, что этим временем можно пренебречь - оно составляет небольшую часть искомых интервалов.
Число вылетающих шайб можно считать обычным способом - как при расчете давления молекул на стенку. Нужно только учесть, что движение "двумерное" и оценка скорости вдоль некоторой оси должна содержать не "корень из трех", а "корень из двух" - квадрат полной скорости складывается из суммы квадратов двух составляющих скорости. Для оценки времени $\tau_{1}$ вылета первой тысячи шайб будем считать "концентрацию" шайб неизменной:
$\frac{0,5l \frac{v}{ \sqrt{2} } \tau_{1} N }{a^{2} } = \frac{N}{10}, \tau_{1} = 3 \cdot 10^{3} с$.
Для оценки времени вылета остальных шайб заметим, что при уменьшении концентрации уменьшается во столько же раз и число ударов (скорости шайб внутри будем считать не изменяющимися - это не совсем точно, так как у быстрых шайб вероятность вылететь за данный интервал времени побольше, но для оценки мы это учитывать не будем), тогда за следующие 3000 секунд вылетит 1/10 оставшихся шайб, за следующие 3000 секунд - еще 1/10 и т.д. Это означает, что число шайб, оставшихся после $n$ таких интервалов, будет $(0,9)^{n} N$ и можно найти такое число интервалов, после которого останется, скажем, только одна шайба:
$lg N + nlg 0,9 = 0, n = - \frac{4}{lg 0,9} = 100$.
Тогда
$\tau_{2} = n \tau_{1} = 3 \cdot 10^{5} с$.
Посмотрим, большой ли вклад дают последние шайбы. Вероятность вылета при одном ударе можно оценить как отношение длины лузы к суммарной длине всех стенок - получается 1/400. Время между ударами около 20 секунд, время вылета оказывается порядка нескольких тысяч секунд, что не изменяет заметно времени $\tau_{2}$.
На компьютере сделана модель бильярда (си. рисунок), на квадратном гладком горизонтальном столе размером 1x1 м могут двигаться одинаковые шайбы диаметром 1 мм каждая, общее число шайб 10000, вначале компьютер располагает шайбы случайным образом. Один из углов квадрата срезан под углом $45^{ \circ}$, образуя лузу длиной 1 см. Шайба, попавшая в лузу, вылетает со стола. В начальный момент одна из шайб имеет случайно направленную скорость, равную 1 м/с, остальные шайбы неподвижны. Все удары запрограммированы как абсолютно упругие (удары шайб друг о друга не ло6овыег). Через какое время со стола вылетит первая тысяча шайб? Оцените также время, за которое в большинстве экспериментов через лузу вылетят все шайбы
Решение:
Через некоторое время после начала процесса движение шайб "хаотизируется", средняя энергия шайбы составит $\frac{Mv_{0}^{2}}{2N}$ и это даст возможность найти среднюю квадратичную скорость шайбы:
$v = \frac{v_{0} }{ \sqrt{N} } = 0,01 м/с$.
Оценив обычным образом длину свободного пробега шайбы, получим среднее время между ударами:
$\lambda = \frac{a^{2} }{N \cdot 2d} = 0,05 м, \tau = \frac{ \lambda }{ v } = 5 с$,
Отсюда видно, что время "хаотизации" составляет десятки секунд (в начале процесса удары происходят чаще и основной вклад в "разравнивание" скоростей дают удары после того, как скорости шайб уже существенно меньше $v_{0}$). Далее будет видно, что этим временем можно пренебречь - оно составляет небольшую часть искомых интервалов.
Число вылетающих шайб можно считать обычным способом - как при расчете давления молекул на стенку. Нужно только учесть, что движение "двумерное" и оценка скорости вдоль некоторой оси должна содержать не "корень из трех", а "корень из двух" - квадрат полной скорости складывается из суммы квадратов двух составляющих скорости. Для оценки времени $\tau_{1}$ вылета первой тысячи шайб будем считать "концентрацию" шайб неизменной:
$\frac{0,5l \frac{v}{ \sqrt{2} } \tau_{1} N }{a^{2} } = \frac{N}{10}, \tau_{1} = 3 \cdot 10^{3} с$.
Для оценки времени вылета остальных шайб заметим, что при уменьшении концентрации уменьшается во столько же раз и число ударов (скорости шайб внутри будем считать не изменяющимися - это не совсем точно, так как у быстрых шайб вероятность вылететь за данный интервал времени побольше, но для оценки мы это учитывать не будем), тогда за следующие 3000 секунд вылетит 1/10 оставшихся шайб, за следующие 3000 секунд - еще 1/10 и т.д. Это означает, что число шайб, оставшихся после $n$ таких интервалов, будет $(0,9)^{n} N$ и можно найти такое число интервалов, после которого останется, скажем, только одна шайба:
$lg N + nlg 0,9 = 0, n = - \frac{4}{lg 0,9} = 100$.
Тогда
$\tau_{2} = n \tau_{1} = 3 \cdot 10^{5} с$.
Посмотрим, большой ли вклад дают последние шайбы. Вероятность вылета при одном ударе можно оценить как отношение длины лузы к суммарной длине всех стенок - получается 1/400. Время между ударами около 20 секунд, время вылета оказывается порядка нескольких тысяч секунд, что не изменяет заметно времени $\tau_{2}$.
