2016-10-21
Полый цилиндр радиусом $R$ и высотой $H$ заполнен электронами с концентрацией $n шт/м^{3}$. Параллельно оси цилиндра приложено постоянное магнитное поле с индукцией $B$. Предполагая, что все электроны имеют одинаковые по величине скорости $v$, лежащие в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, а удары электронов о стенки цилиндра абсолютно упругие, оцените, чему равно и как зависит от магнитного поля давление $p$ на боковые стенки цилиндра, которое создаёт такой «электронный газ» (величину давления можно найти с точностью до постоянного коэффициента, не зависящего от магнитного поля). Заряд электрона $-e$, масса $m$. Считайте, что $\frac{mv}{eB} \ll R$ («сильное» поле $B$). Взаимодействием электронов друг с другом пренебречь.
Решение:
Так как сила Лоренца, действующая на движущийся в магнитном поле электрон, всё время направлена перпендикулярно его скорости, то электроны в цилиндре будут двигаться по дугам окружностей с радиусом $r$. Уравнение движения электрона при этом имеет вид: $\frac{mv^{2}}{r} = evB$, откуда $r = \frac{mv}{eB} \ll R$. Следовательно, соударяться со стенкой цилиндра будут только те электроны, которые в процессе движения не удаляются от стенки цилиндра на расстояние, большее $2r$. Рассмотрим электрон, центр «орбиты» которого находится на некотором расстоянии $h$ от стенки цилиндра (см. рис.). Заметим, что поскольку $r \ll R$, то стенку цилиндра при рассмотрении процесса соударения можно считать плоской. При ударе о стенку электрон передаёт ей импульс $\Delta p = 2mv \sin \alpha$, а происходят эти удары через промежутки времени, равные $\Delta t = 2( \pi — \alpha)r/v$. Поэтому рассматриваемый электрон действует на стенку с силой, которая в среднем равна
$f = \frac{ \Delta p}{ \Delta t} = \frac{ \in \alpha}{ \pi \alpha} \cdot \frac{mv^{2}}{r}$.
Из полученной формулы видно, что сила $f$ зависит от угла а (или, что то же самое, от расстояния $h$), то есть на самом деле все сталкивающиеся со стенкой электроны действуют на неё с разными силами. Для того, чтобы найти силу $f$ точно, нужно усреднить зависимость $f(h)$ по всем возможным значениям, которые может принимать величина $h$. Но ясно, что при таком усреднении в выражение для силы $f_{ср}$ вместо отношения $\frac{ \sin \alpha}{ \pi - \alpha}$ войдет некоторый численный коэффициент $C$, не зависящий от магнитного поля, то есть $f_{ср} = Cmv^{2}/r$.
Найдём теперь давление на стенку цилиндра. Оно равно $p = — Nf_{cp}/S$, где $N$ — количество электронов, которые сталкиваются с цилиндром, $S$ — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как $r \ll R$, то в соударениях принимают участие только те электроны, которые находятся в тонком цилиндрическом слое шириной $2r$ вблизи поверхности цилиндра. Учитывая это, получим, что давление «электронного газа» на боковые стенки цилиндра при условиях задачи не зависит от $B$ и равно
$p = \frac{N f_{ср}}{S} = \frac{n \cdot 2rS \cdot f_{ср}}{S} = 2Cnmv^{2}$.