Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12901
2020-02-08 
На гладкой горизонтальной поверхности стола стоит обруч радиусом $R$ и массой $M$. Обруч пытались перепилить, однако дело не было доведено до конца. Масса удаленных опилок составила $m$, размер поврежденной области очень мал по сравнению с радиусом обруча. В начальный поврежденное место находится точно внизу, и от совсем малого толчка обруч выходит из состояния равновесия. Найдите максимальное смещение центра обруча и его максимальную угловую скорость. Найдите также максимальную скорость центра обруча. Считайте, что обруч все время остается в вертикальной плоскости.
Решение:
Положим $\frac{m}{M} = \delta \ll 1$. Для упрощения расчетов вернем на место удаленные опилки, а в диаметрально противоположной точке добавим массу $m$. Пусть скорость центра обруча в некоторый момент $u$, угол поворота $\phi$ и угловая скорость $\omega$. Запишем закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальное направление:
$Mu = m( \omega R \cos \phi - u)$
и закон сохранения энергии:
$mgR(1 - \cos \phi ) = \frac{Mu^{2} }{2} + \frac{M \omega^{2}R^{2} }{2}$
(мы пренебрегли энергией маленькой массы, поскольку она движется вместе с другими точками массивного обруча). Для нахождения максимальной скорости центра обруча выразим его угловую скорость из первого уравнения и подставим во второе уравнение, а затем выразим скорость центра обруча через угол поворота и найдем максимум, приравняв нулю его производную по углу. Учитывая малость отношения масс, получим
$u^{2} = 2 \delta^{3}gR \cos^{2} \phi (1 - \cos \phi )$.
Не будем извлекать корень, а найдем максимум квадрата скорости - это достигается при $\cos \phi = 2/3$. Соответствующее значение максимальной скорости центра обруча составит
$u_{0} = \sqrt{ \frac{8 \delta^{3} gR }{27} }$.
Максимальное значение угловой скорости обруча соответствует углу поворота $\phi = 180^{ \circ}$:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{4 \delta g}{R} }$.
С максимальным смещением центра обруча дело обстоит сложнее. В условии задачи сказано просто о малом толчке, но если при этом скорость центра масс выведенной из равновесия системы равна нулю, то мы можем посчитать максимальное смещение центра. В противном случае стоит подождать подольше, и обруч уедет на любое сколь угодно большое расстояние Рассмотрим случай нулевой скорости центра масс. Максимальное смещение соответствует самому правому положению малой массы, при этом $\phi = 90^{ \circ}$ и смещение массы $m$ относительно центра обруча равно $R$. Обозначив смещение $x$, получим
$Mx = m(R - x)$,
откуда
$x = \frac{mR}{M + m} \approx \delta R$.
На гладкой горизонтальной поверхности стола стоит обруч радиусом $R$ и массой $M$. Обруч пытались перепилить, однако дело не было доведено до конца. Масса удаленных опилок составила $m$, размер поврежденной области очень мал по сравнению с радиусом обруча. В начальный поврежденное место находится точно внизу, и от совсем малого толчка обруч выходит из состояния равновесия. Найдите максимальное смещение центра обруча и его максимальную угловую скорость. Найдите также максимальную скорость центра обруча. Считайте, что обруч все время остается в вертикальной плоскости.
Решение:
Положим $\frac{m}{M} = \delta \ll 1$. Для упрощения расчетов вернем на место удаленные опилки, а в диаметрально противоположной точке добавим массу $m$. Пусть скорость центра обруча в некоторый момент $u$, угол поворота $\phi$ и угловая скорость $\omega$. Запишем закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальное направление:
$Mu = m( \omega R \cos \phi - u)$
и закон сохранения энергии:
$mgR(1 - \cos \phi ) = \frac{Mu^{2} }{2} + \frac{M \omega^{2}R^{2} }{2}$
(мы пренебрегли энергией маленькой массы, поскольку она движется вместе с другими точками массивного обруча). Для нахождения максимальной скорости центра обруча выразим его угловую скорость из первого уравнения и подставим во второе уравнение, а затем выразим скорость центра обруча через угол поворота и найдем максимум, приравняв нулю его производную по углу. Учитывая малость отношения масс, получим
$u^{2} = 2 \delta^{3}gR \cos^{2} \phi (1 - \cos \phi )$.
Не будем извлекать корень, а найдем максимум квадрата скорости - это достигается при $\cos \phi = 2/3$. Соответствующее значение максимальной скорости центра обруча составит
$u_{0} = \sqrt{ \frac{8 \delta^{3} gR }{27} }$.
Максимальное значение угловой скорости обруча соответствует углу поворота $\phi = 180^{ \circ}$:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{4 \delta g}{R} }$.
С максимальным смещением центра обруча дело обстоит сложнее. В условии задачи сказано просто о малом толчке, но если при этом скорость центра масс выведенной из равновесия системы равна нулю, то мы можем посчитать максимальное смещение центра. В противном случае стоит подождать подольше, и обруч уедет на любое сколь угодно большое расстояние Рассмотрим случай нулевой скорости центра масс. Максимальное смещение соответствует самому правому положению малой массы, при этом $\phi = 90^{ \circ}$ и смещение массы $m$ относительно центра обруча равно $R$. Обозначив смещение $x$, получим
$Mx = m(R - x)$,
откуда
$x = \frac{mR}{M + m} \approx \delta R$.
