Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12900
2020-02-08 
Два стержня длиной $L$ каждый соединены шарнирно (см. рисунок). Свободный конец одного из стержней шарнирно закреплен, а свободный конец другого стержня начинают двигать с постоянной по величине и направлению скоростью $\vec{v}_{0}$, причем в на чальпый момент вектор скорости параллелен биссектрисе угла $2 \alpha$, составленного стержнями в этот момент. Найдите величину и направление вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, через очень маленький отрезок времени после начала движения.
Решение:
Шарнир, находящийся в вершине угла, движется по окружности с центром в точке закрепления системы. Обозначим его скорость $u$. Проекции скоростей на направление правого стержня должны быть равны между собой (нерастяжимость стержня):
$u \sin 2 \alpha = v_{0} \cos \alpha$.
Теперь мы можем записать выражение для центростремительного ускорения интересующего нас шарнира:
$a_{ц} = \frac{u^{2} }{L} = \frac{v_{0}^{2} }{4L \sin^{2} \alpha }$.
Полное ускорение шарнира представим в виде суммы двух векторов - один из них $\vec{a}_{1}$, направим против вектора $\vec{v}_{0}$, а другой $\vec{a}_{2}$ направим перпендикулярно ему влево. Тогда можно записать
$a_{1} \cos \alpha + a_{2} \sin \alpha = a_{ц} = \frac{v_{0}^{2} }{4L \sin^{2} \alpha }$.
Перейдем в систему отсчета, связанную с концом правого стержня, который движется с постоянной скоростью $\vec{v}_{0}$. В этой системе верхний шарнир снова движется по окружности, только ее центр находится в упомянутой точке. После несложных тригонометрических преобразований можно убедиться, что скорость шарнира и в этом случае равна $\frac{ v_{0} \cos \alpha}{ \sin 2 \alpha} = \frac{v_{0} }{2 \sin \alpha}$, а центростремительное ускорение по величине осталось прежним, но изменилось по направлению. Теперь его можно выразить через введенные выше ускорения так:
$a_{1} \cos \alpha - a_{2} \sin \alpha = a_{ц} = \frac{v_{0}^{2} }{4L \sin^{2} \alpha }$.
Отсюда сразу следует, что $a_{2} = 0$, а полный вектор ускорения верхнего шарнира в интересующий нас момент направлен против вектора $\vec{v}_{0}$ (по биссектрисе) и равен
$a= a_{1} = \frac{v_{0}^{2} }{4L \sin^{2} \alpha \cos \alpha }$.
Два стержня длиной $L$ каждый соединены шарнирно (см. рисунок). Свободный конец одного из стержней шарнирно закреплен, а свободный конец другого стержня начинают двигать с постоянной по величине и направлению скоростью $\vec{v}_{0}$, причем в на чальпый момент вектор скорости параллелен биссектрисе угла $2 \alpha$, составленного стержнями в этот момент. Найдите величину и направление вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, через очень маленький отрезок времени после начала движения.
Решение:
Шарнир, находящийся в вершине угла, движется по окружности с центром в точке закрепления системы. Обозначим его скорость $u$. Проекции скоростей на направление правого стержня должны быть равны между собой (нерастяжимость стержня):
$u \sin 2 \alpha = v_{0} \cos \alpha$.
Теперь мы можем записать выражение для центростремительного ускорения интересующего нас шарнира:
$a_{ц} = \frac{u^{2} }{L} = \frac{v_{0}^{2} }{4L \sin^{2} \alpha }$.
Полное ускорение шарнира представим в виде суммы двух векторов - один из них $\vec{a}_{1}$, направим против вектора $\vec{v}_{0}$, а другой $\vec{a}_{2}$ направим перпендикулярно ему влево. Тогда можно записать
$a_{1} \cos \alpha + a_{2} \sin \alpha = a_{ц} = \frac{v_{0}^{2} }{4L \sin^{2} \alpha }$.
Перейдем в систему отсчета, связанную с концом правого стержня, который движется с постоянной скоростью $\vec{v}_{0}$. В этой системе верхний шарнир снова движется по окружности, только ее центр находится в упомянутой точке. После несложных тригонометрических преобразований можно убедиться, что скорость шарнира и в этом случае равна $\frac{ v_{0} \cos \alpha}{ \sin 2 \alpha} = \frac{v_{0} }{2 \sin \alpha}$, а центростремительное ускорение по величине осталось прежним, но изменилось по направлению. Теперь его можно выразить через введенные выше ускорения так:
$a_{1} \cos \alpha - a_{2} \sin \alpha = a_{ц} = \frac{v_{0}^{2} }{4L \sin^{2} \alpha }$.
Отсюда сразу следует, что $a_{2} = 0$, а полный вектор ускорения верхнего шарнира в интересующий нас момент направлен против вектора $\vec{v}_{0}$ (по биссектрисе) и равен
$a= a_{1} = \frac{v_{0}^{2} }{4L \sin^{2} \alpha \cos \alpha }$.
