Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1290
2016-10-21 
Маленький шарик массой $m$ с зарядом $q$, брошенный со скоростью $v$ под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту, пролетев вдоль поверхности земли расстояние $L$, попадает в область пространства, в которой, кроме поля силы тяжести, имеется ещё и однородное постоянное горизонтальное электрическое поле. Граница этой области вертикальна. Через некоторое время после этого шарик падает в точку, откуда был произведён бросок. Найдите напряжённость электрического поля $E$. Ускорение свободного падения равно $g$, влиянием воздуха пренебречь.
Решение:
Ясно, что для выполнения условий задачи шарик после попадания в поле должен выталкиваться из него — в противном случае он никогда не покинет область поля и, следовательно, не сможет вернуться в исходную точку. Предположим далее, что плоскость траектории шарика до его попадания в поле перпендикулярна границе области, в которой имеется поле. Тогда для выполнения условий задачи необходимо, как минимум, чтобы силовые линии поля были также перпендикулярны границе указанной области. Действительно, если бы силовые линии были направлены под углом к границе области, в которой имеется поле, то шарик за время движения в поле приобрёл бы «боковую» составляющую скорости, направленную вдоль этой границы (перпендикулярно плоскости начальной траектории), и не смог бы вернуться в исходную точку. Пусть теперь плоскость траектории шарика до его попадания в поле составляет с границей области, в которой имеется поле, некоторый угол. Тогда, очевидно, для выполнения условий задачи необходимо, как минимум, чтобы силовые линии поля составляли с границей области поля точно такой же угол — в противном случае у шарика опять же появится «боковая» составляющая скорости, перпендикулярная плоскости начальной траектории, и шарик не сможет упасть в исходную точку. Таким образом, мы доказали, что в любом случае траектория шарика как до, так и после его попадания в поле лежит в вертикальной плоскости, параллельной силовым линиям поля. При этом данная плоскость может составлять некоторый угол с границей области, в которой имеется поле.
Теперь выясним, каким образом должен двигаться шарик в электрическом поле. Разложим вектор скорости шарика в момент его попадания в поле на две составляющие — горизонтальную, параллельную силовым линиям, и вертикальную. Так как электрическое поле потенциально, то горизонтальная составляющая скорости шарика при его вылете из поля сохранит величину и изменит знак по сравнению с горизонтальной составляющей в момент попадания шарика в поле. Значит, время, проходящее от момента броска шарика до его попадания в поле, равно времени, проходящему от момента вылета шарика из поля до его падения, и равно отношению расстояния Ь к величине горизонтальной составляющей скорости. С другой стороны, это время равно времени подъёма шарика в поле тяжести от места броска до уровня точки пересечения границы поля, а также времени движения от данной точки до точки падения. В силу потенциальности поля тяжести вертикальная составляющая скорости шарика при его движении вверх и вниз на одной и той же высоте одинакова, а с ростом высоты уменьшается. Поэтому, если бы шарик вылетел из поля выше точки его попадания в поле, то время движения вниз до точки падения было бы больше, а если ниже —
то меньше упомянутого выше времени подъёма шарика от точки броска до точки его попадания в поле. Следовательно, для того, чтобы шарик упал в исходную точку, необходимо, чтобы вертикальная составляющая скорости шарика за время его нахождения в поле также изменила знак и сохранила свою величину, причём точки попадания шарика в поле и его вылета из поля должны совпадать. Это возможно только в том случае, когда шарик в поле движется по прямой линии, вдоль которой направлен вектор действующей на шарик суммарной силы $m \vec{g} + q \vec{E}$.
Итак, мы доказали следующие утверждения. Для того, чтобы шарик мог вернуться в исходную точку, необходимо, чтобы он после вылета из электрического поля двигался назад по той же траектории, по которой он летел от момента броска до попадания в электрическое поле. Это возможно лишь в том случае, если траектория шарика всё время лежит в плоскости, параллельной силовым линиям электрического поля, причём они должны быть направлены так, чтобы выталкивать шарик из поля.
Для дальнейшего решения задачи введём прямоугольную систему координат с началом в точке броска шарика, поместим её в плоскость траектории шарика и направим координатную ось X вдоль поверхности земли (антипараллельно линиям электрического поля), а ось Y — вверх. Пусть шарик влетает в электрическое поле, имея проекции скорости $v_{x}$ и $v_{y}$. При вылете из поля проекции скорости, как мы уже выяснили, должны остаться прежними по величине и изменить свой знак. Так как шарик движется в поле вдоль оси X с постоянным ускорением $-qE/m$, а вдоль оси Y — с ускорением свободного падения —g, то для проекций его скорости в момент вылета из поля можно записать:
$-v_{x} = v_{x} - \frac{qE}{m}t; - v_{y} = v_{y} - gt$,
где $t$ — время полёта шарика в электрическом поле. Из этих соотношений получаем:
$E = \frac{mg}{q} \cdot \frac{v_{x}}{v{y}}$.
Пусть от момента броска шарика до его попадания в электрическое поле прошло время $\tau$. Тогда из уравнений кинематики получаем:
$v_{x} = v \cos \alpha, v_{y} = v \sin \alpha — g \tau, L = v_{x} \tau = v \cos \alpha \cdot \tau$.
Исключая из двух последних уравнений $\tau$, получаем выражение для проекции скорости $v_{y}$:
$v_{y} = v \sin \alpha - \frac{gL}{v \cos \alpha}$.
Подставляя $v_{x}$ и $v_{y}$ в выражение для $E$ и учитывая, что $\alpha = 48^{ \circ}$, находим:
$E = \frac{mg}{q} \cdot \frac{v_{x}}{v_{y}} = \frac{mg}{q} \cdot \frac{ v \cos \alpha}{ v \sin \alpha - \frac{gL}{v \cos \alpha}} = \frac{mg}{q} \cdot \frac{ 1}{ tg \alpha - \frac{gL}{(v \cos \alpha)^{2}}} = \frac{mg}{q} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2gL}{v^{2}}}$.
Из этого выражения видно, что решение задачи существует при условии $v > \sqrt{2gL}$. Данное условие означает, что шарик должен влетать в электрическое поле прежде, чем достигнет наивысшей точки своей траектории при полёте вне поля. Из формулы для $E$, кроме того, следует, что при движении, удовлетворяющем условиям задачи, справедливо соотношение $\frac{mg}{qE} = \frac{v_{y}}{v_{x}}$, которое и означает, что в момент попадания шарика в электрическое поле его скорость направлена вдоль суммарной силы, действующей на шарик в электрическом поле и поле силы тяжести. Следовательно, шарик движется в поле с ускорением вдоль прямой, составляющей с горизонталью угол
$\psi = arctg \frac{mg}{qE} = arctg \frac{v_{y}}{v_{x}} = arctg \left ( 1 - \frac{2gL}{v^{2}} \right )$.
Следует отметить, что в общем случае движение заряженного шарика во взаимно перпендикулярных однородных гравитационном и электрическом полях происходит по параболе, которая в данном случае вырождается в прямую.
Маленький шарик массой $m$ с зарядом $q$, брошенный со скоростью $v$ под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту, пролетев вдоль поверхности земли расстояние $L$, попадает в область пространства, в которой, кроме поля силы тяжести, имеется ещё и однородное постоянное горизонтальное электрическое поле. Граница этой области вертикальна. Через некоторое время после этого шарик падает в точку, откуда был произведён бросок. Найдите напряжённость электрического поля $E$. Ускорение свободного падения равно $g$, влиянием воздуха пренебречь.
Решение:
Ясно, что для выполнения условий задачи шарик после попадания в поле должен выталкиваться из него — в противном случае он никогда не покинет область поля и, следовательно, не сможет вернуться в исходную точку. Предположим далее, что плоскость траектории шарика до его попадания в поле перпендикулярна границе области, в которой имеется поле. Тогда для выполнения условий задачи необходимо, как минимум, чтобы силовые линии поля были также перпендикулярны границе указанной области. Действительно, если бы силовые линии были направлены под углом к границе области, в которой имеется поле, то шарик за время движения в поле приобрёл бы «боковую» составляющую скорости, направленную вдоль этой границы (перпендикулярно плоскости начальной траектории), и не смог бы вернуться в исходную точку. Пусть теперь плоскость траектории шарика до его попадания в поле составляет с границей области, в которой имеется поле, некоторый угол. Тогда, очевидно, для выполнения условий задачи необходимо, как минимум, чтобы силовые линии поля составляли с границей области поля точно такой же угол — в противном случае у шарика опять же появится «боковая» составляющая скорости, перпендикулярная плоскости начальной траектории, и шарик не сможет упасть в исходную точку. Таким образом, мы доказали, что в любом случае траектория шарика как до, так и после его попадания в поле лежит в вертикальной плоскости, параллельной силовым линиям поля. При этом данная плоскость может составлять некоторый угол с границей области, в которой имеется поле.
Теперь выясним, каким образом должен двигаться шарик в электрическом поле. Разложим вектор скорости шарика в момент его попадания в поле на две составляющие — горизонтальную, параллельную силовым линиям, и вертикальную. Так как электрическое поле потенциально, то горизонтальная составляющая скорости шарика при его вылете из поля сохранит величину и изменит знак по сравнению с горизонтальной составляющей в момент попадания шарика в поле. Значит, время, проходящее от момента броска шарика до его попадания в поле, равно времени, проходящему от момента вылета шарика из поля до его падения, и равно отношению расстояния Ь к величине горизонтальной составляющей скорости. С другой стороны, это время равно времени подъёма шарика в поле тяжести от места броска до уровня точки пересечения границы поля, а также времени движения от данной точки до точки падения. В силу потенциальности поля тяжести вертикальная составляющая скорости шарика при его движении вверх и вниз на одной и той же высоте одинакова, а с ростом высоты уменьшается. Поэтому, если бы шарик вылетел из поля выше точки его попадания в поле, то время движения вниз до точки падения было бы больше, а если ниже —
то меньше упомянутого выше времени подъёма шарика от точки броска до точки его попадания в поле. Следовательно, для того, чтобы шарик упал в исходную точку, необходимо, чтобы вертикальная составляющая скорости шарика за время его нахождения в поле также изменила знак и сохранила свою величину, причём точки попадания шарика в поле и его вылета из поля должны совпадать. Это возможно только в том случае, когда шарик в поле движется по прямой линии, вдоль которой направлен вектор действующей на шарик суммарной силы $m \vec{g} + q \vec{E}$.
Итак, мы доказали следующие утверждения. Для того, чтобы шарик мог вернуться в исходную точку, необходимо, чтобы он после вылета из электрического поля двигался назад по той же траектории, по которой он летел от момента броска до попадания в электрическое поле. Это возможно лишь в том случае, если траектория шарика всё время лежит в плоскости, параллельной силовым линиям электрического поля, причём они должны быть направлены так, чтобы выталкивать шарик из поля.
Для дальнейшего решения задачи введём прямоугольную систему координат с началом в точке броска шарика, поместим её в плоскость траектории шарика и направим координатную ось X вдоль поверхности земли (антипараллельно линиям электрического поля), а ось Y — вверх. Пусть шарик влетает в электрическое поле, имея проекции скорости $v_{x}$ и $v_{y}$. При вылете из поля проекции скорости, как мы уже выяснили, должны остаться прежними по величине и изменить свой знак. Так как шарик движется в поле вдоль оси X с постоянным ускорением $-qE/m$, а вдоль оси Y — с ускорением свободного падения —g, то для проекций его скорости в момент вылета из поля можно записать:
$-v_{x} = v_{x} - \frac{qE}{m}t; - v_{y} = v_{y} - gt$,
где $t$ — время полёта шарика в электрическом поле. Из этих соотношений получаем:
$E = \frac{mg}{q} \cdot \frac{v_{x}}{v{y}}$.
Пусть от момента броска шарика до его попадания в электрическое поле прошло время $\tau$. Тогда из уравнений кинематики получаем:
$v_{x} = v \cos \alpha, v_{y} = v \sin \alpha — g \tau, L = v_{x} \tau = v \cos \alpha \cdot \tau$.
Исключая из двух последних уравнений $\tau$, получаем выражение для проекции скорости $v_{y}$:
$v_{y} = v \sin \alpha - \frac{gL}{v \cos \alpha}$.
Подставляя $v_{x}$ и $v_{y}$ в выражение для $E$ и учитывая, что $\alpha = 48^{ \circ}$, находим:
$E = \frac{mg}{q} \cdot \frac{v_{x}}{v_{y}} = \frac{mg}{q} \cdot \frac{ v \cos \alpha}{ v \sin \alpha - \frac{gL}{v \cos \alpha}} = \frac{mg}{q} \cdot \frac{ 1}{ tg \alpha - \frac{gL}{(v \cos \alpha)^{2}}} = \frac{mg}{q} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2gL}{v^{2}}}$.
Из этого выражения видно, что решение задачи существует при условии $v > \sqrt{2gL}$. Данное условие означает, что шарик должен влетать в электрическое поле прежде, чем достигнет наивысшей точки своей траектории при полёте вне поля. Из формулы для $E$, кроме того, следует, что при движении, удовлетворяющем условиям задачи, справедливо соотношение $\frac{mg}{qE} = \frac{v_{y}}{v_{x}}$, которое и означает, что в момент попадания шарика в электрическое поле его скорость направлена вдоль суммарной силы, действующей на шарик в электрическом поле и поле силы тяжести. Следовательно, шарик движется в поле с ускорением вдоль прямой, составляющей с горизонталью угол
$\psi = arctg \frac{mg}{qE} = arctg \frac{v_{y}}{v_{x}} = arctg \left ( 1 - \frac{2gL}{v^{2}} \right )$.
Следует отметить, что в общем случае движение заряженного шарика во взаимно перпендикулярных однородных гравитационном и электрическом полях происходит по параболе, которая в данном случае вырождается в прямую.
