Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12897
2020-02-08 
Нелинейный двухполюсник имеет "квадратичную" вольт-амперную характеристику - напряжение между его выводами пропорционально квадрату текущего через него тока. Двухполюсник подключают к батарейке напряжением $\mathcal{E}$ последовательно с вольтметром, при этом вольтметр показывает половину напряжения батарейки. Параллельно двухполюснику подключают еще один такой же вольтметр. Найдите показания обоих вольтметров. Внутреннее сопротивление батарейки считать малым.
Решение:
При первом включении напряжение двухполюсника равно напряжению вольтметра и составляет $\mathcal{E}/2$. Обозначим токи приборов в этом случае через $I$ (они соединены последовательно). После подключения второго вольтметра напряжение двухполюсника и его ток уменьшатся. Пусть ток двухполюсника стал $kI$, тогда напряжение двухполюсника изменилось в $k^{2}$ раз и составило $k^{2} \mathcal{E}/2$. Таким же будет напряжение параллельного вольтметра, и через него будет идти ток $k^{2}I$ (во сколько раз изменилось его напряжение по отношению к половине напряжения батарейки, во сколько же раз изменилось его напряжение по отношению к $I$). Ясно, что через последовательный вольтметр течет суммарный ток, а его напряжение изменилось от $\mathcal{E}/2$ до $\left ( \mathcal{E} - \frac{k^{2} \mathcal{E}}{2} \right )$, т.е. в $(2 - k^{2})$ раз Приравнивая выражения для токов, мы получим уравнение относительно неизвестной величины $k$, решив которое найдем ответ задачи. Итак,
$kI + k^{2}I = (2 - k^{2})I$,
или
$2k^{2} + k - 2 = 0$.
Нас интересует только положительный корень: $k = \frac{- 1 + \sqrt{17} }{4}$. Квадрат этого числа равен примерно 0,61, именно во столько раз уменьшится напряжение на двухполюснике по отношению к половине напряжения батарейки. Таким образом, параллельный вольтметр покажет теперь $\frac{ k^{2} \mathcal{E}}{2} \approx 0,3 \mathcal{E}$, а последовательный вольтметр покажет $(2 - k^{2}) \frac{ \mathcal{E}}{2} \approx 0,7 \mathcal{E}$.
Нелинейный двухполюсник имеет "квадратичную" вольт-амперную характеристику - напряжение между его выводами пропорционально квадрату текущего через него тока. Двухполюсник подключают к батарейке напряжением $\mathcal{E}$ последовательно с вольтметром, при этом вольтметр показывает половину напряжения батарейки. Параллельно двухполюснику подключают еще один такой же вольтметр. Найдите показания обоих вольтметров. Внутреннее сопротивление батарейки считать малым.
Решение:
При первом включении напряжение двухполюсника равно напряжению вольтметра и составляет $\mathcal{E}/2$. Обозначим токи приборов в этом случае через $I$ (они соединены последовательно). После подключения второго вольтметра напряжение двухполюсника и его ток уменьшатся. Пусть ток двухполюсника стал $kI$, тогда напряжение двухполюсника изменилось в $k^{2}$ раз и составило $k^{2} \mathcal{E}/2$. Таким же будет напряжение параллельного вольтметра, и через него будет идти ток $k^{2}I$ (во сколько раз изменилось его напряжение по отношению к половине напряжения батарейки, во сколько же раз изменилось его напряжение по отношению к $I$). Ясно, что через последовательный вольтметр течет суммарный ток, а его напряжение изменилось от $\mathcal{E}/2$ до $\left ( \mathcal{E} - \frac{k^{2} \mathcal{E}}{2} \right )$, т.е. в $(2 - k^{2})$ раз Приравнивая выражения для токов, мы получим уравнение относительно неизвестной величины $k$, решив которое найдем ответ задачи. Итак,
$kI + k^{2}I = (2 - k^{2})I$,
или
$2k^{2} + k - 2 = 0$.
Нас интересует только положительный корень: $k = \frac{- 1 + \sqrt{17} }{4}$. Квадрат этого числа равен примерно 0,61, именно во столько раз уменьшится напряжение на двухполюснике по отношению к половине напряжения батарейки. Таким образом, параллельный вольтметр покажет теперь $\frac{ k^{2} \mathcal{E}}{2} \approx 0,3 \mathcal{E}$, а последовательный вольтметр покажет $(2 - k^{2}) \frac{ \mathcal{E}}{2} \approx 0,7 \mathcal{E}$.
