Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12893
2020-02-08 
Источник переменного напряжения частоты $\omega$ имеет внутреннее сопротивление $R$. Известно, что максимальную мощность в нагрузке можно получить в том случае, когда сопротивление нагрузки в точности равно внутреннему сопротивлению источника (как и для цепей постоянного тока). Однако сопротивление нагрузки составляет $5R$. Как нужно включить в цепь катушку индуктивности и конденсатор, и какими они должны быть, чтобы мощность в нагрузке оказалась максимально возможной?
Решение:
Для решения этой задачи нужно уметь пользоваться одним из методов расчета цепей переменного тока - либо методом векторных диаграмм, либо методом комплексных амплитуд, связанным с использованием комплексных чисел. (Есть и другие методы расчета - годится любой, который может привести к ответу.) Мы воспользуемся методом векторных диаграмм. Он сводится к рисованию векторов, которые изображают токи и напряжения в цепи, пока не получится какой-нибудь известный вектор - он и поможет определить остальные.
Рассмотрим следующее подключение нагрузки к источнику: параллельно резистору сопротивлением $5R$ включим конденсатор емкостью $C$, последовательно с ними соединим катушку индуктивностью $L$ и получившуюся цепь присоединим к источнику. Нам нужно так подобрать емкость конденсатора и индуктивность катушки, чтобы для источника внешняя цепь представляла собой "чистый резистор" сопротивлением $R$.
Начнем строить векторную диаграмму (см. рисунок). Для начала нарисуем вектор $U$, который изображает напряжение резистора сопротивлением $5R$ ( и конденсатора, конечно). Затем на этой же картинке нарисуем векторы, изображающие ток резистора $I_{5R} = \frac{U}{5R}$, ток конденсатора $I_{C} = U \omega C$ и суммарный ток $I = \sqrt{ \left ( \frac{U}{5R} \right )^{2} + (U \omega C)^{2} }$. Теперь нарисуем вектор, который изобразит напряжение катушки, - он на $\pi /2$ опережает по фазе ток катушки, а через катушку и источник течет ток $I$, который мы записали выше. Напряжение катушки $U_{L} = I \omega L$. Теперь осталось сообразить, что сумма векторов, изображающих напряжение резистора - конденсатора и напряжение катушки, равна напряжению источника $U_{0}$. А для того чтобы вся цепь представляла собой резистор сопротивлением $R$, должно выполняться одновременно два условия: суммарный вектор напряжения должен быть параллелен вектору, изображающему общий ток (сдвиг фаз в цепи с резистором должен быть равен нулю), и должно выполняться соотношение $U_{0} = RI$.
Из "треугольника" для токов определим синус угла между $I$ и $U$, а затем потребуем, чтобы проекция вектора $U$ на перпендикулярное току $I$ направление в точности скомпенсировала вектор $U_{L}$ (этот вектор перпендикулярен вектору, изображающему ток $I$). А составляющая вектора $U$ вдоль вектора $I$ - эта составляющая и есть напряжение источника $U_{0}$ - должна быть равна $RI$.
После нудных вычислений получим
$L = \frac{2R}{ \omega}, C = \frac{1}{2,5 \omega R}$.
Это и есть ответ.
Источник переменного напряжения частоты $\omega$ имеет внутреннее сопротивление $R$. Известно, что максимальную мощность в нагрузке можно получить в том случае, когда сопротивление нагрузки в точности равно внутреннему сопротивлению источника (как и для цепей постоянного тока). Однако сопротивление нагрузки составляет $5R$. Как нужно включить в цепь катушку индуктивности и конденсатор, и какими они должны быть, чтобы мощность в нагрузке оказалась максимально возможной?
Решение:
Для решения этой задачи нужно уметь пользоваться одним из методов расчета цепей переменного тока - либо методом векторных диаграмм, либо методом комплексных амплитуд, связанным с использованием комплексных чисел. (Есть и другие методы расчета - годится любой, который может привести к ответу.) Мы воспользуемся методом векторных диаграмм. Он сводится к рисованию векторов, которые изображают токи и напряжения в цепи, пока не получится какой-нибудь известный вектор - он и поможет определить остальные.
Рассмотрим следующее подключение нагрузки к источнику: параллельно резистору сопротивлением $5R$ включим конденсатор емкостью $C$, последовательно с ними соединим катушку индуктивностью $L$ и получившуюся цепь присоединим к источнику. Нам нужно так подобрать емкость конденсатора и индуктивность катушки, чтобы для источника внешняя цепь представляла собой "чистый резистор" сопротивлением $R$.
Начнем строить векторную диаграмму (см. рисунок). Для начала нарисуем вектор $U$, который изображает напряжение резистора сопротивлением $5R$ ( и конденсатора, конечно). Затем на этой же картинке нарисуем векторы, изображающие ток резистора $I_{5R} = \frac{U}{5R}$, ток конденсатора $I_{C} = U \omega C$ и суммарный ток $I = \sqrt{ \left ( \frac{U}{5R} \right )^{2} + (U \omega C)^{2} }$. Теперь нарисуем вектор, который изобразит напряжение катушки, - он на $\pi /2$ опережает по фазе ток катушки, а через катушку и источник течет ток $I$, который мы записали выше. Напряжение катушки $U_{L} = I \omega L$. Теперь осталось сообразить, что сумма векторов, изображающих напряжение резистора - конденсатора и напряжение катушки, равна напряжению источника $U_{0}$. А для того чтобы вся цепь представляла собой резистор сопротивлением $R$, должно выполняться одновременно два условия: суммарный вектор напряжения должен быть параллелен вектору, изображающему общий ток (сдвиг фаз в цепи с резистором должен быть равен нулю), и должно выполняться соотношение $U_{0} = RI$.
Из "треугольника" для токов определим синус угла между $I$ и $U$, а затем потребуем, чтобы проекция вектора $U$ на перпендикулярное току $I$ направление в точности скомпенсировала вектор $U_{L}$ (этот вектор перпендикулярен вектору, изображающему ток $I$). А составляющая вектора $U$ вдоль вектора $I$ - эта составляющая и есть напряжение источника $U_{0}$ - должна быть равна $RI$.
После нудных вычислений получим
$L = \frac{2R}{ \omega}, C = \frac{1}{2,5 \omega R}$.
Это и есть ответ.
