Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12892
2020-02-08 
Колебательный контур состоит из параллельно соединенных конденсатора емкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$. В тот момент, когда заряд конденсатора $Q$, а ток катушки $I$ параллельно подключают еще одну катушку индуктивностью $2L$. Найдите максимальный заряд конденсатора после такого подключения. Как изменится ответ, если вместо катушки подключить в тот же момент конденсатор емкостью $2C$? Элементы цепи считать почти идеальными.
Решение:
При подключении еще одной катушки можно считать энергию системы неизменной и равной ее начальному значению
$W_{0} = \frac{LI^{2} }{2} + \frac{Q^{2} }{2C}$.
Максимальный заряд конденсатора получается в тот момент, когда ток заряда обращается в ноль. Для обычного колебательного контура это соответствует нулевому току катушки и ее нулевой энергии. В нашем же случае нулю равен суммарный ток двух катушек и не вся энергия системы в интересующий нас момент окажется в конденсаторе. Итак, после подключения катушки индуктивностью $2L$ к интересующему нас моменту, ток катушки индуктивностью $L$ изменится от начального значения $I$ до некоторого, а ток второй катушки также составит по величине $I_{1}$, но будет течь в противоположном направлении. Из условия неизменности магнитного потока в контуре из двух катушек (активное сопротивление этого контура мало) можно записать
$L(I - I_{1}) = 2LI_{1}, I_{1}= \frac{I}{3}$.
Теперь получим искомый заряд $Q_{1}$, используя закон сохранения энергии:
$\frac{L \left ( \frac{I}{3} \right )^{2}}{3} + \frac{2L \left ( \frac{I}{3} \right )^{2}}{2} + \frac{Q_{1}^{2} }{2C} = W_{0}, Q_{1} = \sqrt{Q^{2} + \frac{2}{3} LCI^{2} }$.
В случае с подключением конденсатора энергия контура не сохраняется - хотя элементы цепи почти идеальные и сопротивление проводов можно считать очень малым, токи перезаряда конденсаторов сразу после такого подключения оказываются очень большими и непременно часть энергии уйдет в тепло. Только после того как заряды параллельно соединенных конденсаторов установятся, можно будет записать новый энергетический баланс:
$\frac{Q^{2}}{6C} + \frac{LI^{2} }{2} = \frac{Q_{2}^{2} }{6C}, Q_{2} = \sqrt{ Q^{2} + 3LCI^{2} }$.
Нас интересует максимальный заряд первого конденсатора - он составляет
$\frac{Q_{2} }{3} = \frac{1}{3} \sqrt{Q^{2} + 3LCI^{2}}$.
Колебательный контур состоит из параллельно соединенных конденсатора емкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$. В тот момент, когда заряд конденсатора $Q$, а ток катушки $I$ параллельно подключают еще одну катушку индуктивностью $2L$. Найдите максимальный заряд конденсатора после такого подключения. Как изменится ответ, если вместо катушки подключить в тот же момент конденсатор емкостью $2C$? Элементы цепи считать почти идеальными.
Решение:
При подключении еще одной катушки можно считать энергию системы неизменной и равной ее начальному значению
$W_{0} = \frac{LI^{2} }{2} + \frac{Q^{2} }{2C}$.
Максимальный заряд конденсатора получается в тот момент, когда ток заряда обращается в ноль. Для обычного колебательного контура это соответствует нулевому току катушки и ее нулевой энергии. В нашем же случае нулю равен суммарный ток двух катушек и не вся энергия системы в интересующий нас момент окажется в конденсаторе. Итак, после подключения катушки индуктивностью $2L$ к интересующему нас моменту, ток катушки индуктивностью $L$ изменится от начального значения $I$ до некоторого, а ток второй катушки также составит по величине $I_{1}$, но будет течь в противоположном направлении. Из условия неизменности магнитного потока в контуре из двух катушек (активное сопротивление этого контура мало) можно записать
$L(I - I_{1}) = 2LI_{1}, I_{1}= \frac{I}{3}$.
Теперь получим искомый заряд $Q_{1}$, используя закон сохранения энергии:
$\frac{L \left ( \frac{I}{3} \right )^{2}}{3} + \frac{2L \left ( \frac{I}{3} \right )^{2}}{2} + \frac{Q_{1}^{2} }{2C} = W_{0}, Q_{1} = \sqrt{Q^{2} + \frac{2}{3} LCI^{2} }$.
В случае с подключением конденсатора энергия контура не сохраняется - хотя элементы цепи почти идеальные и сопротивление проводов можно считать очень малым, токи перезаряда конденсаторов сразу после такого подключения оказываются очень большими и непременно часть энергии уйдет в тепло. Только после того как заряды параллельно соединенных конденсаторов установятся, можно будет записать новый энергетический баланс:
$\frac{Q^{2}}{6C} + \frac{LI^{2} }{2} = \frac{Q_{2}^{2} }{6C}, Q_{2} = \sqrt{ Q^{2} + 3LCI^{2} }$.
Нас интересует максимальный заряд первого конденсатора - он составляет
$\frac{Q_{2} }{3} = \frac{1}{3} \sqrt{Q^{2} + 3LCI^{2}}$.
