Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12890
2020-02-08 
Плоский конденсатор состоит из двух пластин площадью $S$ каждая, находящихся на маленьком расстоянии $d$ друг от друга. Оцените работу, которую нужно совершить для того, чтобы зарядить пластины одинаковыми зарядами $Q$. Считайте, что заряды распределяются по пластинам равномерно.
Решение:
Разделим заданный в условии задачи процесс на две простые (относительно!) части - вначале очень далеко друг от друга зарядим как надо эти пластины, а затем сблизим их на указанное расстояние, преодолевая силы отталкивания.
Итак, сначала заряжаем пластины. Тут нам поможет такой прием - будем заряжать не две, а четыре пластины (потом мы это учтем), которые будут вначале двумя обычными плоскими конденсаторами с нужной нам площадью пластин. Обозначим расстояние между парами пластин буквой $d$ (не обязательно это расстояние такое же, как задано в условии, но оно должно быть во много раз меньше размеров пластин). Пусть заряженные конденсаторы в сумме имеют энергию $\frac{Q^{2} }{C}$.
Теперь начнем растаскивать пластины одного конденсатора - силы взаимодействия вначале постоянны, а затем начинают убывать. Точный расчет очень сложен, да он нам и не нужен - нам нужна разумная оценка. Будем считать, что на первом участке сила постоянна, на втором она спадает по закону обратных квадратов (закон Кулона для точечных зарядов), а место, где один закон сменяется другим, определим из условия равенства сил, посчитанных по двум соответствующим формулам:
$\frac{Q^{2}}{2 \epsilon_{0}S } = \frac{Q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} x_{1}^{2} }, x_{1} = \sqrt{ \frac{S}{2 \pi } } \gg d$.
Полная работа составляет
$A = \frac{Q^{2} }{C} + 2 \left ( \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } x_{1} + \frac{Q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} x_{1} } \right ) = \frac{Q^{2}d }{ \epsilon_{0}S } + \frac{2Q^{2} }{ \epsilon_{0} \sqrt{2 \pi S} } \approx \frac{2Q^{2} }{ \epsilon_{0} \sqrt{2 \pi S} }$.
При расчете мы учли, что $d \ll \sqrt{S}$, и считали, что пластины растаскивали с нулевого расстояния.
В результате у нас есть четыре заряженные пластины, находящиеся далеко друг от друга, и можно считать, что половина затраченной энергии была израсходована на нужные нам две пластины. Осталось посчитать работу по их сближению. Однако похожую проблему мы только что решили - растаскивать разноименные заряды и сближать одноименные " стоит" одинаковой работы. Таким образом, к половине прежней работы нужно прибавить новую - это и будет искомая работа:
$A_{общ} = \frac{Q^{2}}{ \epsilon_{0} \sqrt{2 \pi S}} + \left ( \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } x _{1} + \frac{Q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} x_{1} } \right ) = \frac{2Q^{2}}{ \epsilon_{0} \sqrt{2 \pi S} }$.
Видно, что ответ не зависит от расстояния между пластинами - лишь бы оно было малым.
Плоский конденсатор состоит из двух пластин площадью $S$ каждая, находящихся на маленьком расстоянии $d$ друг от друга. Оцените работу, которую нужно совершить для того, чтобы зарядить пластины одинаковыми зарядами $Q$. Считайте, что заряды распределяются по пластинам равномерно.
Решение:
Разделим заданный в условии задачи процесс на две простые (относительно!) части - вначале очень далеко друг от друга зарядим как надо эти пластины, а затем сблизим их на указанное расстояние, преодолевая силы отталкивания.
Итак, сначала заряжаем пластины. Тут нам поможет такой прием - будем заряжать не две, а четыре пластины (потом мы это учтем), которые будут вначале двумя обычными плоскими конденсаторами с нужной нам площадью пластин. Обозначим расстояние между парами пластин буквой $d$ (не обязательно это расстояние такое же, как задано в условии, но оно должно быть во много раз меньше размеров пластин). Пусть заряженные конденсаторы в сумме имеют энергию $\frac{Q^{2} }{C}$.
Теперь начнем растаскивать пластины одного конденсатора - силы взаимодействия вначале постоянны, а затем начинают убывать. Точный расчет очень сложен, да он нам и не нужен - нам нужна разумная оценка. Будем считать, что на первом участке сила постоянна, на втором она спадает по закону обратных квадратов (закон Кулона для точечных зарядов), а место, где один закон сменяется другим, определим из условия равенства сил, посчитанных по двум соответствующим формулам:
$\frac{Q^{2}}{2 \epsilon_{0}S } = \frac{Q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} x_{1}^{2} }, x_{1} = \sqrt{ \frac{S}{2 \pi } } \gg d$.
Полная работа составляет
$A = \frac{Q^{2} }{C} + 2 \left ( \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } x_{1} + \frac{Q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} x_{1} } \right ) = \frac{Q^{2}d }{ \epsilon_{0}S } + \frac{2Q^{2} }{ \epsilon_{0} \sqrt{2 \pi S} } \approx \frac{2Q^{2} }{ \epsilon_{0} \sqrt{2 \pi S} }$.
При расчете мы учли, что $d \ll \sqrt{S}$, и считали, что пластины растаскивали с нулевого расстояния.
В результате у нас есть четыре заряженные пластины, находящиеся далеко друг от друга, и можно считать, что половина затраченной энергии была израсходована на нужные нам две пластины. Осталось посчитать работу по их сближению. Однако похожую проблему мы только что решили - растаскивать разноименные заряды и сближать одноименные " стоит" одинаковой работы. Таким образом, к половине прежней работы нужно прибавить новую - это и будет искомая работа:
$A_{общ} = \frac{Q^{2}}{ \epsilon_{0} \sqrt{2 \pi S}} + \left ( \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } x _{1} + \frac{Q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} x_{1} } \right ) = \frac{2Q^{2}}{ \epsilon_{0} \sqrt{2 \pi S} }$.
Видно, что ответ не зависит от расстояния между пластинами - лишь бы оно было малым.
