Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12889
2020-02-08 
В длинной горизонтальной гладкой пустой трубе находятся два поршня, которые могут скользить без трения вдоль трубы. Один из поршней имеет массу $M = 1 кг$, другой - в два раза тяжелее. В начальный момент между поршнями находится моль кислорода при температуре $T = 300 К$, а тяжелый поршень движется со скоростью $v_{0} = 1 м/с$ по на правлению к неподвижному в этот момент легкому поршню. Чему равна максимальная температура газа в этом процессе? Найдите также скорости поршней через большой отрезок времени. Теплоемкость стенок трубы и поршней считать малой, теплопроводностью пренебречь.
Решение:
Температура газа увеличивается до тех пор, пока газ сжимается, т.е. до того момента, когда скорости поршней сравняются:
$u_{1} = u_{2} = \frac{2Mv_{0}}{3M} = \frac{2}{3}v_{0}$.
При этом внутренняя энергия газа возрастет на величину
$\frac{2Mv_{0}^{2}}{2} - \frac{3M \left ( \frac{2v_{0} }{3} \right )^{2} }{2} = \frac{Mv_{0}^{2} }{3}$,
так что для кислорода (учитывая, что это двухатомный газ) баланс энергий можно записать в виде
$\frac{5}{2} RT_{0} + \frac{Mv_{0}^{2} }{3} = \frac{5}{2} RT_{1}$.
Отсюда находим максимальную температуру газа:
$T_{1} = T_{0} + \frac{2}{15} \frac{Mv_{0}^{2} }{R} = 300 К + 0,016 К$.
Видно, что изменение температуры в данном процессе очень незначительно.
Легкий поршень все время разгоняется - его скорость будет максимальной к тому моменту, когда поршни окажутся на большом расстоянии друг от друга и давление газа упадет до совсем малого значения. Это означает, что температура газа окажется малой, его внутреннюю энергию можно будет считать нулевой, а кинетическая энергия системы поршней возрастет на величину начальной внутренней энергии газа и составит (газ двухатомный)
$\frac{Mv_{1}^{2}}{2} + \frac{2Mv_{2}^{2} }{2} = \frac{2Mv_{0}^{2} }{2} + \frac{5}{2} RT_{0}$.
Запишем теперь закон сохранения импульса (пренебрегая импульсов малой порции газа):
$2Mv_{0} = Mv_{1} + 2Mv_{2}$.
Для искомого значения скорости легкого поршня получаем квадратное уравнение
$3v_{1}^{2} - 4v_{0}v_{1} - \frac{10RT_{0} }{M} = 0$.
Поскольку скорость центра масс системы равна $2v_{0}/3$, скорость легкого поршня должна быть больше этой величины, т.е.
$v_{1} = \frac{2}{3} v_{0} + \frac{2}{3} \sqrt{ v_{0}^{2} + \frac{15RT}{2M} } \approx 92 м/с$.
Скорость тяжелого поршня будет равна, соответственно
$v_{2} = v_{0} - \frac{v_{1} }{2} = - 45 м/с$.
В длинной горизонтальной гладкой пустой трубе находятся два поршня, которые могут скользить без трения вдоль трубы. Один из поршней имеет массу $M = 1 кг$, другой - в два раза тяжелее. В начальный момент между поршнями находится моль кислорода при температуре $T = 300 К$, а тяжелый поршень движется со скоростью $v_{0} = 1 м/с$ по на правлению к неподвижному в этот момент легкому поршню. Чему равна максимальная температура газа в этом процессе? Найдите также скорости поршней через большой отрезок времени. Теплоемкость стенок трубы и поршней считать малой, теплопроводностью пренебречь.
Решение:
Температура газа увеличивается до тех пор, пока газ сжимается, т.е. до того момента, когда скорости поршней сравняются:
$u_{1} = u_{2} = \frac{2Mv_{0}}{3M} = \frac{2}{3}v_{0}$.
При этом внутренняя энергия газа возрастет на величину
$\frac{2Mv_{0}^{2}}{2} - \frac{3M \left ( \frac{2v_{0} }{3} \right )^{2} }{2} = \frac{Mv_{0}^{2} }{3}$,
так что для кислорода (учитывая, что это двухатомный газ) баланс энергий можно записать в виде
$\frac{5}{2} RT_{0} + \frac{Mv_{0}^{2} }{3} = \frac{5}{2} RT_{1}$.
Отсюда находим максимальную температуру газа:
$T_{1} = T_{0} + \frac{2}{15} \frac{Mv_{0}^{2} }{R} = 300 К + 0,016 К$.
Видно, что изменение температуры в данном процессе очень незначительно.
Легкий поршень все время разгоняется - его скорость будет максимальной к тому моменту, когда поршни окажутся на большом расстоянии друг от друга и давление газа упадет до совсем малого значения. Это означает, что температура газа окажется малой, его внутреннюю энергию можно будет считать нулевой, а кинетическая энергия системы поршней возрастет на величину начальной внутренней энергии газа и составит (газ двухатомный)
$\frac{Mv_{1}^{2}}{2} + \frac{2Mv_{2}^{2} }{2} = \frac{2Mv_{0}^{2} }{2} + \frac{5}{2} RT_{0}$.
Запишем теперь закон сохранения импульса (пренебрегая импульсов малой порции газа):
$2Mv_{0} = Mv_{1} + 2Mv_{2}$.
Для искомого значения скорости легкого поршня получаем квадратное уравнение
$3v_{1}^{2} - 4v_{0}v_{1} - \frac{10RT_{0} }{M} = 0$.
Поскольку скорость центра масс системы равна $2v_{0}/3$, скорость легкого поршня должна быть больше этой величины, т.е.
$v_{1} = \frac{2}{3} v_{0} + \frac{2}{3} \sqrt{ v_{0}^{2} + \frac{15RT}{2M} } \approx 92 м/с$.
Скорость тяжелого поршня будет равна, соответственно
$v_{2} = v_{0} - \frac{v_{1} }{2} = - 45 м/с$.
