Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12874
2020-02-08 
На неподвижное тонкое кольцо надета небольшая бусинка. Коэффициент трения между бусинкой и кольцом $\mu = 0,1$, сила тяжести отсутствует. Во сколько раз уменьшится из-за трения скорость движения бусинки за $n = 3$ оборота? Если у вас не получится точное решение, постарайтесь посчитать приближенно.
Решение:
Сила трения, которая тормозит бусинку, определяется силой нормальной реакции. В нашем случае эта сила равна силе, действующей на бусинку со стороны кольца и направленной к центру, т.е.
$N = \frac{mv^{2} }{R}, F_{тр} = \mu N = \frac{ \mu mv^{2} }{R}$.
За малый отрезок времени $\Delta t$ скорость бусинки уменьшится на
$\Delta v = a \Delta t = \frac{F_{тр}}{m} \Delta t = \frac{ \mu v^{2} \Delta t }{R} = \frac{ \mu v \Delta t}{R}$,
Видно, что на заданном маленьком участке пути скорость уменьшается на определенную долю Например, если на перемещении 1 см скорость уменьшается до 0,99 своего значения в начале этого сантиметра, то за 5 см она составит $(0,99)^{5}$ от этого значения. Воспользуемся этим для вычисления окончательной скорости - найдем такой кусочек $\Delta s_{0}$, на котором скорость уменьшается, скажем, до 1 - 0,001 = 0,999 своего значения:
$\Delta s_{0} = \frac{0,001R}{ \mu }$.
На всем пути $s = 2 \pi Rn$ таких кусочков получится $N = \frac{s}{ \Delta s_{0} } = 1000n \cdot 2 \pi \mu$, тогда скорость бусинки в конце составит
$v = v_{0} \left ( 1 - \frac{1}{1000} \right )^{N} = v_{0} \left ( 1 - \frac{1}{1000} \right )^{ \frac{1000N}{1000}}$,
Простое преобразование показателя степени позволяет увидеть (если кто еще не догадался!) в этом выражении знаменитое основание натуральных логарифмов - число е = 2,718 .. (Число 1000 достаточно большое, а если какой-нибудь математик заявит, что оно не так уж велико и есть побольше нам никто не мешает провести рассуждение и для любого большого числа.) Тогда наша формула перепишется так
$v = v_{0} \left ( 1 - \frac{1}{1000} \right )^{ \frac{1000N}{1000} } = v_{0} \left ( \frac{1}{e} \right )^{ \frac{N}{1000} } = v_{0} \left ( \frac{1}{e} \right )^{n 2 \pi \mu} = 0,152v_{0}$.
Следовательно, через 3 оборота скорость бусинки уменьшится в 1/0,152 $\approx$ 6,58 раза.
На неподвижное тонкое кольцо надета небольшая бусинка. Коэффициент трения между бусинкой и кольцом $\mu = 0,1$, сила тяжести отсутствует. Во сколько раз уменьшится из-за трения скорость движения бусинки за $n = 3$ оборота? Если у вас не получится точное решение, постарайтесь посчитать приближенно.
Решение:
Сила трения, которая тормозит бусинку, определяется силой нормальной реакции. В нашем случае эта сила равна силе, действующей на бусинку со стороны кольца и направленной к центру, т.е.
$N = \frac{mv^{2} }{R}, F_{тр} = \mu N = \frac{ \mu mv^{2} }{R}$.
За малый отрезок времени $\Delta t$ скорость бусинки уменьшится на
$\Delta v = a \Delta t = \frac{F_{тр}}{m} \Delta t = \frac{ \mu v^{2} \Delta t }{R} = \frac{ \mu v \Delta t}{R}$,
Видно, что на заданном маленьком участке пути скорость уменьшается на определенную долю Например, если на перемещении 1 см скорость уменьшается до 0,99 своего значения в начале этого сантиметра, то за 5 см она составит $(0,99)^{5}$ от этого значения. Воспользуемся этим для вычисления окончательной скорости - найдем такой кусочек $\Delta s_{0}$, на котором скорость уменьшается, скажем, до 1 - 0,001 = 0,999 своего значения:
$\Delta s_{0} = \frac{0,001R}{ \mu }$.
На всем пути $s = 2 \pi Rn$ таких кусочков получится $N = \frac{s}{ \Delta s_{0} } = 1000n \cdot 2 \pi \mu$, тогда скорость бусинки в конце составит
$v = v_{0} \left ( 1 - \frac{1}{1000} \right )^{N} = v_{0} \left ( 1 - \frac{1}{1000} \right )^{ \frac{1000N}{1000}}$,
Простое преобразование показателя степени позволяет увидеть (если кто еще не догадался!) в этом выражении знаменитое основание натуральных логарифмов - число е = 2,718 .. (Число 1000 достаточно большое, а если какой-нибудь математик заявит, что оно не так уж велико и есть побольше нам никто не мешает провести рассуждение и для любого большого числа.) Тогда наша формула перепишется так
$v = v_{0} \left ( 1 - \frac{1}{1000} \right )^{ \frac{1000N}{1000} } = v_{0} \left ( \frac{1}{e} \right )^{ \frac{N}{1000} } = v_{0} \left ( \frac{1}{e} \right )^{n 2 \pi \mu} = 0,152v_{0}$.
Следовательно, через 3 оборота скорость бусинки уменьшится в 1/0,152 $\approx$ 6,58 раза.
