Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1287
2016-10-21 
Параллельные рельсы длиной $2L$ закреплены на горизонтальной плоскости на расстоянии $l$ друг от друга. К их концам подсоединены две одинаковые батареи с ЭДС $\mathcal{E}$ (см. рисунок). На рельсах лежит перемычка массой $m$, которая может поступательно скользить вдоль них. Вся система помещена в однородное вертикальное магнитное поле с индукцией $B$. Считая, что сопротивление перемычки равно $R$, а сопротивление единицы длины каждого из рельсов равно $\rho$, найдите период малых колебаний, возникающих при смещении перемычки от положения равновесия, пренебрегая затуханием, внутренним сопротивлением источников, сопротивлением контактов, а также индуктивностью цепи.
Решение:
Выясним сначала, где находится положение равновесия перемычки. Поскольку батареи имеют одинаковые ЭДС, то при схеме их включения, показанной на рисунке, разность потенциалов между серединами рельсов равна нулю. Следовательно, если перемычка покоится посередине, то через неё не протекает ток, а значит, на неё не действует сила Ампера. Значит, это положение и является положением равновесия перемычки. Отметим далее, что при движении перемычки через неё протекает ток, обусловленный как изменением омического сопротивления частей цепи, так и явлением электромагнитной индукции. В соответствии с правилом Ленца, часть силы Ампера, связанная с индукционным током, приводит к затуханию колебаний (можно показать, что эта часть силы пропорциональна скорости перемычки и, следовательно, является аналогом вязкого трения). Поэтому, в соответствии с условием задачи, ЭДС индукции при решении задачи можно пренебречь.
Поместим начало координатной оси X в середину нижнего рельса и направим ось вдоль него. Рассмотрим малое смещение перемычки вдоль оси X — например, влево. После того, как перемычка сдвинется вдоль рельсов на расстояние $x < 0$, в ней начнёт протекать ток. Обозначим ток, текущий от левой батареи к началу координат, через $I_{1}$; ток, ответвляющийся из начала координат в перемычку, через $I_{2}$; ток, текущий от начала координат к правой батарее, через $I_{3}$. Запишем первое правило Кирхгофа:
$I_{1} = I_{2} + I_{3}$.
Для контура, содержащего левую батарею и перемычку, а также для контура, содержащего правую батарею и перемычку, применим второе правило Кирхгофа:
$2I_{1} \rho (L + x) + I_{2}R = \mathcal{E}$,
$2I_{3} \rho (L - x) - I_{2}R = \mathcal{E}$.
Решая полученную систему, найдём силу тока, текущего через перемычку:
$I_{2} = - \frac{ \mathcal{E} x}{ \rho (L^{2} - x^{2}) + RL} \approx - \frac{ \mathcal{E}x}{ \rho L^{2} + RL}$,
поскольку колебания малые, и $x^{2} \ll L^{2}$.
Так как перемычка находится в магнитном поле, то на неё действует сила Ампера:
$F_{A} = I_{2}lB = - \frac{ \mathcal{E} lBx}{L( \rho L + R)} x$.
Она направлена вправо, то есть стремится вернуть перемычку в положение равновесия. Поэтому уравнение движения перемычки имеет вид:
$ma_{x} = — \frac{ \mathcal{E} lB}{L( \rho L + R)} x$.
Отсюда для частоты $\omega_{0}$ и периода $T_{0}$ собственных колебаний перемычки получаем:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{ \mathcal{E} lB}{mL( \rho L + R)}}, T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{mL( \rho L + R)}{ \mathcal{E} lB}}$.
Параллельные рельсы длиной $2L$ закреплены на горизонтальной плоскости на расстоянии $l$ друг от друга. К их концам подсоединены две одинаковые батареи с ЭДС $\mathcal{E}$ (см. рисунок). На рельсах лежит перемычка массой $m$, которая может поступательно скользить вдоль них. Вся система помещена в однородное вертикальное магнитное поле с индукцией $B$. Считая, что сопротивление перемычки равно $R$, а сопротивление единицы длины каждого из рельсов равно $\rho$, найдите период малых колебаний, возникающих при смещении перемычки от положения равновесия, пренебрегая затуханием, внутренним сопротивлением источников, сопротивлением контактов, а также индуктивностью цепи.
Решение:
Выясним сначала, где находится положение равновесия перемычки. Поскольку батареи имеют одинаковые ЭДС, то при схеме их включения, показанной на рисунке, разность потенциалов между серединами рельсов равна нулю. Следовательно, если перемычка покоится посередине, то через неё не протекает ток, а значит, на неё не действует сила Ампера. Значит, это положение и является положением равновесия перемычки. Отметим далее, что при движении перемычки через неё протекает ток, обусловленный как изменением омического сопротивления частей цепи, так и явлением электромагнитной индукции. В соответствии с правилом Ленца, часть силы Ампера, связанная с индукционным током, приводит к затуханию колебаний (можно показать, что эта часть силы пропорциональна скорости перемычки и, следовательно, является аналогом вязкого трения). Поэтому, в соответствии с условием задачи, ЭДС индукции при решении задачи можно пренебречь.
Поместим начало координатной оси X в середину нижнего рельса и направим ось вдоль него. Рассмотрим малое смещение перемычки вдоль оси X — например, влево. После того, как перемычка сдвинется вдоль рельсов на расстояние $x < 0$, в ней начнёт протекать ток. Обозначим ток, текущий от левой батареи к началу координат, через $I_{1}$; ток, ответвляющийся из начала координат в перемычку, через $I_{2}$; ток, текущий от начала координат к правой батарее, через $I_{3}$. Запишем первое правило Кирхгофа:
$I_{1} = I_{2} + I_{3}$.
Для контура, содержащего левую батарею и перемычку, а также для контура, содержащего правую батарею и перемычку, применим второе правило Кирхгофа:
$2I_{1} \rho (L + x) + I_{2}R = \mathcal{E}$,
$2I_{3} \rho (L - x) - I_{2}R = \mathcal{E}$.
Решая полученную систему, найдём силу тока, текущего через перемычку:
$I_{2} = - \frac{ \mathcal{E} x}{ \rho (L^{2} - x^{2}) + RL} \approx - \frac{ \mathcal{E}x}{ \rho L^{2} + RL}$,
поскольку колебания малые, и $x^{2} \ll L^{2}$.
Так как перемычка находится в магнитном поле, то на неё действует сила Ампера:
$F_{A} = I_{2}lB = - \frac{ \mathcal{E} lBx}{L( \rho L + R)} x$.
Она направлена вправо, то есть стремится вернуть перемычку в положение равновесия. Поэтому уравнение движения перемычки имеет вид:
$ma_{x} = — \frac{ \mathcal{E} lB}{L( \rho L + R)} x$.
Отсюда для частоты $\omega_{0}$ и периода $T_{0}$ собственных колебаний перемычки получаем:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{ \mathcal{E} lB}{mL( \rho L + R)}}, T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{mL( \rho L + R)}{ \mathcal{E} lB}}$.
