Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12869
2020-02-07 
На тороидальный сердечник из ферромагнитного материала с очень большой магнитной проницаемостью намотана катушка, состоящая из большого числа витков и имеющая индуктивность $L$. От середины катушки сделан отвод. Схема подключения этой катушки и конденсатора емкостью $C$ к источнику переменного напряжения с амплитудой $U_{0}$ и частотой $\omega$ приведена на рисунке. Что показывает амперметр, имеющий пренебрежимо малое сопротивление?
Решение:
Через половинки катушки текут различные токи $I_{1}$ и $I_{2}$, в таком случае магнитная индукция в сердечнике равна
$B = kI_{1} \frac{N}{2} + kI_{2} \frac{N}{2}$,
где $k$ - постоянный коэффициент, $N$ - число витков катушки. Магнитный поток, пронизывающий катушку, равен сумме магнитных потоков витков (площадью $S$ каждый):
$\Phi = BSN = \frac{kSN^{2} (I_{1} + I_{2} ) }{2}$.
Но $kS N^{2}I = LI$, и мы можем выразить через заданные параметры катушки неизвестный коэффициент:
$kSN^{2} = L$.
Магнитные потоки половинок катушки одинаковы, поэтому напряжение конденсатора равно ровно половине напряжения источника $u = U_{0} \cos \omega t$. Тогда ток участка цепи с конденсатором равен
$I_{C} = -0,5 U_{0} \omega C \sin \omega t$.
Обозначим интересующий нас ток через амперметр $I$, тогда ток дальней от источника половинки катушки равен $I$, а ближней - сумме токов $I_{C} + I$. В этом случае магнитный лоток через катушку составляет
$\Phi = LI + 0,5LI_{C}$.
Приравнивая величины ЭДС индукции и приложенного напряжения, получаем
$U_{0} \cos \omega t = \Phi^{ \prime} = LI^{ \prime} + 0,5LI_{C}^{ \prime} = LI^{ \prime} + 0,5L ( - 0,5 U_{0} \omega^{2}C \cos \omega t )$.
Отсюда найдем ток $I$:
$LI^{ \prime} = U_{0}(1 + 0,25 \omega^{2}CL) \cos \omega t$,
$I = \frac{U_{0} }{ \omega L} (1 + 0,25 \omega^{2}CL) \sin \omega t$.
Видно, что этот ток отстает по фазе от приложенного напряжения на $\pi /2$.
На тороидальный сердечник из ферромагнитного материала с очень большой магнитной проницаемостью намотана катушка, состоящая из большого числа витков и имеющая индуктивность $L$. От середины катушки сделан отвод. Схема подключения этой катушки и конденсатора емкостью $C$ к источнику переменного напряжения с амплитудой $U_{0}$ и частотой $\omega$ приведена на рисунке. Что показывает амперметр, имеющий пренебрежимо малое сопротивление?
Решение:
Через половинки катушки текут различные токи $I_{1}$ и $I_{2}$, в таком случае магнитная индукция в сердечнике равна
$B = kI_{1} \frac{N}{2} + kI_{2} \frac{N}{2}$,
где $k$ - постоянный коэффициент, $N$ - число витков катушки. Магнитный поток, пронизывающий катушку, равен сумме магнитных потоков витков (площадью $S$ каждый):
$\Phi = BSN = \frac{kSN^{2} (I_{1} + I_{2} ) }{2}$.
Но $kS N^{2}I = LI$, и мы можем выразить через заданные параметры катушки неизвестный коэффициент:
$kSN^{2} = L$.
Магнитные потоки половинок катушки одинаковы, поэтому напряжение конденсатора равно ровно половине напряжения источника $u = U_{0} \cos \omega t$. Тогда ток участка цепи с конденсатором равен
$I_{C} = -0,5 U_{0} \omega C \sin \omega t$.
Обозначим интересующий нас ток через амперметр $I$, тогда ток дальней от источника половинки катушки равен $I$, а ближней - сумме токов $I_{C} + I$. В этом случае магнитный лоток через катушку составляет
$\Phi = LI + 0,5LI_{C}$.
Приравнивая величины ЭДС индукции и приложенного напряжения, получаем
$U_{0} \cos \omega t = \Phi^{ \prime} = LI^{ \prime} + 0,5LI_{C}^{ \prime} = LI^{ \prime} + 0,5L ( - 0,5 U_{0} \omega^{2}C \cos \omega t )$.
Отсюда найдем ток $I$:
$LI^{ \prime} = U_{0}(1 + 0,25 \omega^{2}CL) \cos \omega t$,
$I = \frac{U_{0} }{ \omega L} (1 + 0,25 \omega^{2}CL) \sin \omega t$.
Видно, что этот ток отстает по фазе от приложенного напряжения на $\pi /2$.
