Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12860
2020-02-07 
Тонкую упругую полоску длиной $L$ согнули в полуокружность и связали концы нитью натяжение нити составило при этом $T$. Какую работу нужно совершить, чтобы "догнуть" пластинку, превратив ее в обруч?
Решение:
В условии задачи сказано, что согнутая полоска имеет форму полуокружности (окружности - в конце сгибания). Отвлекаясь от вопроса, как это вообще могло получиться, заметим, что деформация равномерно распределяется по полоске и любые ее кусочки одинаковой длины деформированы одинаково. Закрепим один из концов маленького кусочка полоски длиной $l$ и сместим другой его конец в перпендикулярном направлении на малую (по сравнению с $l$) величину $x$. Выразим смещение $x$ через длину кусочка и радиус кривизны $R$ получившегося куска окружности: $x = \frac{l^{2}}{2R}$. Ясно, что полную энергию деформации всей полоски также можно выразить через радиус кривизны: $W = \frac{C}{R^{2}}$. Тогда при "догибании" полоски радиус кривизны уменьшится в два раза, энергия деформации возрастет в четыре раза, а совершенная работа будет равна
$A = 3W = \frac{3C}{R^{2} }$.
Осталось только найти значение коэффициента $C$. Для этого немного укоротим нитку и сравним приращение энергии полоски из-за уменьшения радиуса кривизны и совершенную нами работу - они должны быть равны друг другу. При уменьшении радиуса кривизны на малую величину $\Delta R$ изменение энергии всей полоски будет
$\Delta W = - \frac{2C \Delta R}{R^{3} }$.
Работа силы $T$ в этом случае (немного геометрии укорочение нити равна $2 \Delta R$ ) составит
$\Delta A = T \cdot 2 \Delta R$.
Из равенства $\Delta A = - \Delta W$ получим
$C = TR^{3} = T \left ( \frac{L}{ \pi} \right )^{3}$.
Итак, для "догибания" нужно совершить работу
$A = \frac{3TL}{ \pi}$.
Вернемся к началу рассуждений - форма согнутой полоски на практике будет сильно отличаться от окружности, мы провели расчет для заданной модели.
Тонкую упругую полоску длиной $L$ согнули в полуокружность и связали концы нитью натяжение нити составило при этом $T$. Какую работу нужно совершить, чтобы "догнуть" пластинку, превратив ее в обруч?
Решение:
В условии задачи сказано, что согнутая полоска имеет форму полуокружности (окружности - в конце сгибания). Отвлекаясь от вопроса, как это вообще могло получиться, заметим, что деформация равномерно распределяется по полоске и любые ее кусочки одинаковой длины деформированы одинаково. Закрепим один из концов маленького кусочка полоски длиной $l$ и сместим другой его конец в перпендикулярном направлении на малую (по сравнению с $l$) величину $x$. Выразим смещение $x$ через длину кусочка и радиус кривизны $R$ получившегося куска окружности: $x = \frac{l^{2}}{2R}$. Ясно, что полную энергию деформации всей полоски также можно выразить через радиус кривизны: $W = \frac{C}{R^{2}}$. Тогда при "догибании" полоски радиус кривизны уменьшится в два раза, энергия деформации возрастет в четыре раза, а совершенная работа будет равна
$A = 3W = \frac{3C}{R^{2} }$.
Осталось только найти значение коэффициента $C$. Для этого немного укоротим нитку и сравним приращение энергии полоски из-за уменьшения радиуса кривизны и совершенную нами работу - они должны быть равны друг другу. При уменьшении радиуса кривизны на малую величину $\Delta R$ изменение энергии всей полоски будет
$\Delta W = - \frac{2C \Delta R}{R^{3} }$.
Работа силы $T$ в этом случае (немного геометрии укорочение нити равна $2 \Delta R$ ) составит
$\Delta A = T \cdot 2 \Delta R$.
Из равенства $\Delta A = - \Delta W$ получим
$C = TR^{3} = T \left ( \frac{L}{ \pi} \right )^{3}$.
Итак, для "догибания" нужно совершить работу
$A = \frac{3TL}{ \pi}$.
Вернемся к началу рассуждений - форма согнутой полоски на практике будет сильно отличаться от окружности, мы провели расчет для заданной модели.
