Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12849
2020-02-07 
Маятник состоит из длинной, тонкой и легкой нити длиной $L$ и маленького тяжелого шарика. Два таких маятника прикрепили к общей точке подвеса и зарядили одноименно, так что они разошлись на небольшое ( по сравнению с длиной нити) расстояние. Найдите период малых колебаний маятников относительно новых положений равновесия.
Решение:
Обозначим малое смещение шарика от вертикали под действием электрических сил через $x$. Тогда для равновесия получим (с учетом малости $x$ и соответствующего угла $\alpha$)
$F_{эл} - mg tg \alpha = 0$, или $\frac{kq_{1}q_{2} }{4x^{2} } = mg \frac{x}{L}$.
Сместим теперь шарик еще на $\Delta x \ll x$, тогда возвращающая сила будет равна
$F = mg \frac{x + \Delta x}{L} - \frac{kq_{1}q_{2} }{ 4(x + \Delta x)^{2} } = mg \frac{x}{L} - \frac{kq_{1}q_{2} }{4x^{2} } \frac{1}{ \left ( 1 + \frac{ \Delta x}{x} \right )^{2} } + mg \frac{ \Delta x}{L}$.
Упрощая это выражение с учетом $\Delta x/x \ll 1$, получим
$F = mg \frac{ \Delta x}{L} + 2 \frac{kq_{1}q_{2} }{4x^{2} } = 3mg \frac{ \Delta x}{L}$.
Это обычное уравнение гармонических колебаний (немного необычное обозначение: $\Delta x$ вместо $x$). Период таких колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{3g} }$.
Маятник состоит из длинной, тонкой и легкой нити длиной $L$ и маленького тяжелого шарика. Два таких маятника прикрепили к общей точке подвеса и зарядили одноименно, так что они разошлись на небольшое ( по сравнению с длиной нити) расстояние. Найдите период малых колебаний маятников относительно новых положений равновесия.
Решение:
Обозначим малое смещение шарика от вертикали под действием электрических сил через $x$. Тогда для равновесия получим (с учетом малости $x$ и соответствующего угла $\alpha$)
$F_{эл} - mg tg \alpha = 0$, или $\frac{kq_{1}q_{2} }{4x^{2} } = mg \frac{x}{L}$.
Сместим теперь шарик еще на $\Delta x \ll x$, тогда возвращающая сила будет равна
$F = mg \frac{x + \Delta x}{L} - \frac{kq_{1}q_{2} }{ 4(x + \Delta x)^{2} } = mg \frac{x}{L} - \frac{kq_{1}q_{2} }{4x^{2} } \frac{1}{ \left ( 1 + \frac{ \Delta x}{x} \right )^{2} } + mg \frac{ \Delta x}{L}$.
Упрощая это выражение с учетом $\Delta x/x \ll 1$, получим
$F = mg \frac{ \Delta x}{L} + 2 \frac{kq_{1}q_{2} }{4x^{2} } = 3mg \frac{ \Delta x}{L}$.
Это обычное уравнение гармонических колебаний (немного необычное обозначение: $\Delta x$ вместо $x$). Период таких колебаний равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{3g} }$.
