Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12836
2020-02-07 
Сосуд Дьюара содержит жидкий гелий-4. Из-за несовершенства теплоизоляции снаружи в дьюар "натекает" тепло - его мощность $N = 30 мкВт$. Для поддержания температуры гелия постоянной производится непрерывная откачка паров насосом, присоединенным к сосуду широкой трубкой длиной $l = 1 м$. Температура паров на выходе трубки (у входного отверстия насоса) практически комнатная. Сколько литров пара в минуту должен откачивать насос, чтобы поддерживать в сосуде температуру $T_{1} = 1 К$? По сколько раз нужно повысить производительность насоса. чтобы поддерживать температуру $T_{2} = 0,5 К$? Давление насыщенных паров гелия при 1 К составляет $p_{1} = 16 Па$, при 0,5 К - $p_{2} = 2,2 \cdot 10^{-3} Па$. Теплота испарения гелия $r = 92 Дж/моль$, диаметр молекулы гелия $d = 2 \cdot 10^{-10} м$, масса 1 моля гелия $M = 4 г/моль$.
Решение:
Оценим длину свободного пробега для насыщенных паров в обоих случаях (для обеих температур):
$l = \frac{1}{ \pi d^{2} n} = \frac{kT}{ \pi d^{2} p }, l_{1} = 7 \cdot 10^{-6} м, l_{2} = 0,03 м$
(здесь $n$ - концентрация молекул, $k$ - постоянная Больцмана). В первом случае газ не слишком разрежен, поэтому давление в трубке можно считать во всех местах одинаковым. Тогда испаряющийся за одну минуту гелий займет при комнатной температуре $T_{к} = 300 К$ объем
$V = \frac{ \nu RT_{к}}{p} = \frac{60N}{r} \frac{RT_{к}}{p_{1}} = 3 \cdot 10^{-3} м^{3}/мин$.
Если бы условия откачки при температуре $T_{2}$ были теми же, откачиваемый объем пришлось бы увеличить в $\frac{p_{1} }{p_{2} } \frac{T_{2} }{T_{1} } = 4000$ раз. Однако при длине свободного пробега $l_{2}$ газ ведет себя как очень разреженный, поэтому давление в месте откачки получится иным. Его можно оценить из условия равенства потоков молекул:
$n_{2}v_{1} = n_{к}v_{к}$, или $\frac{n_{2} }{n_{к} } = \frac{v_{к} }{v_{2} } = \sqrt{ \frac{T_{к} }{T_{2} } }$,
откуда
$\frac{p_{2} }{p_{к} } = \frac{n_{2}T_{2} }{n_{к}T_{к} } = \sqrt{ \frac{T_{2} }{T_{к} } }$,
т.е. давление откачиваемого газа равно
$p_{к} = p_{2} \sqrt{ \frac{T_{к} }{T_{2} } } = 25 p_{2}$.
Таким образом, откачиваемый объем придется еще увеличить. В общем, это не получится.
Сосуд Дьюара содержит жидкий гелий-4. Из-за несовершенства теплоизоляции снаружи в дьюар "натекает" тепло - его мощность $N = 30 мкВт$. Для поддержания температуры гелия постоянной производится непрерывная откачка паров насосом, присоединенным к сосуду широкой трубкой длиной $l = 1 м$. Температура паров на выходе трубки (у входного отверстия насоса) практически комнатная. Сколько литров пара в минуту должен откачивать насос, чтобы поддерживать в сосуде температуру $T_{1} = 1 К$? По сколько раз нужно повысить производительность насоса. чтобы поддерживать температуру $T_{2} = 0,5 К$? Давление насыщенных паров гелия при 1 К составляет $p_{1} = 16 Па$, при 0,5 К - $p_{2} = 2,2 \cdot 10^{-3} Па$. Теплота испарения гелия $r = 92 Дж/моль$, диаметр молекулы гелия $d = 2 \cdot 10^{-10} м$, масса 1 моля гелия $M = 4 г/моль$.
Решение:
Оценим длину свободного пробега для насыщенных паров в обоих случаях (для обеих температур):
$l = \frac{1}{ \pi d^{2} n} = \frac{kT}{ \pi d^{2} p }, l_{1} = 7 \cdot 10^{-6} м, l_{2} = 0,03 м$
(здесь $n$ - концентрация молекул, $k$ - постоянная Больцмана). В первом случае газ не слишком разрежен, поэтому давление в трубке можно считать во всех местах одинаковым. Тогда испаряющийся за одну минуту гелий займет при комнатной температуре $T_{к} = 300 К$ объем
$V = \frac{ \nu RT_{к}}{p} = \frac{60N}{r} \frac{RT_{к}}{p_{1}} = 3 \cdot 10^{-3} м^{3}/мин$.
Если бы условия откачки при температуре $T_{2}$ были теми же, откачиваемый объем пришлось бы увеличить в $\frac{p_{1} }{p_{2} } \frac{T_{2} }{T_{1} } = 4000$ раз. Однако при длине свободного пробега $l_{2}$ газ ведет себя как очень разреженный, поэтому давление в месте откачки получится иным. Его можно оценить из условия равенства потоков молекул:
$n_{2}v_{1} = n_{к}v_{к}$, или $\frac{n_{2} }{n_{к} } = \frac{v_{к} }{v_{2} } = \sqrt{ \frac{T_{к} }{T_{2} } }$,
откуда
$\frac{p_{2} }{p_{к} } = \frac{n_{2}T_{2} }{n_{к}T_{к} } = \sqrt{ \frac{T_{2} }{T_{к} } }$,
т.е. давление откачиваемого газа равно
$p_{к} = p_{2} \sqrt{ \frac{T_{к} }{T_{2} } } = 25 p_{2}$.
Таким образом, откачиваемый объем придется еще увеличить. В общем, это не получится.
