Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12835
2020-02-07 
На гладком горизонтальном столе лежит гантелька, состоящая из двух маленьких шариков, массы которых $M$ и $M/2$, скрепленных жестким невесомым стержнем. Еще один маленький шарик массой $M$ движется по столу перпендикулярно гантельке и налетает на шарик $M$ гантельки точно в лоб. Происходит абсолютно упругий удар. Как движется гантелька после удара? Произойдет ли еще хотя бы один удар шарика и гантельки? Пусть теперь налетающий шарик имеет массу $m$. При каких соотношениях между $m$ и $M$ произойдет второй удар?
Решение:
Пусть налетающий шарик имеет массу $m$ и перед ударом движется вправо со скоростью $v$ (рис.). Обозначим его скорость после удара $u_{1}$, а скорость столкнувшегося с ним шарика гантельки - $u_{2}$ (второй шарик гантельки в этом ударе участия не принимает). Тогда
$mv = mu_{1} + Mu_{2}, \frac{mv^{2} }{2} = \frac{mu_{1}^{2} }{2} + \frac{Mu_{2}^{2} }{2}$,
или, обозначив $M/m = \gamma$,
$v - u_{1} = \gamma u_{2}, v^{2} - u_{1}^{2} = \gamma u_{2}^{2}$.
Отсюда
$u_{1} = v \frac{1 - \gamma}{1 + \gamma}, u_{2} = v \frac{2}{1 + \gamma }$.
Центр масс гантельки после улара летит вправо со скоростью
$u = \frac{Mu_{2} }{M + \frac{M}{2} } = \frac{2}{3} v \frac{2}{1 + \gamma } = \frac{4v}{3(1 + \gamma )}$.
Кроме того, есть вращение относительно центра масс с угловой скоростью
$\omega = \frac{u_{2} - u }{ \frac{l}{3} } = \frac{2v}{l (1 + \gamma) }$.
Для ответа на следующие вопросы перейдем в систему отсчета, которая едет вместе с центром масс гантельки - в ней гантелька просто вращается. Из геометрии (рис.) ясно, что угол поворота до "критического" положения, когда может произойти второй удар, составляет $120^{ \circ}$, т.е. время между ударами равно
$\tau = \frac{2 \pi /3}{ \omega} = \frac{ \pi l (1 + \gamma ) }{3v}$.
Скорость налетавшего шарика в этой системе отсчета равна
$u_{1} - u = \frac{v(1 - \gamma )}{1 + \gamma } - \frac{4v}{3(1 + \gamma )} = - v \frac{ \gamma + \frac{1}{3} }{1 + \gamma }$.
Если
$v \frac{ \gamma + \frac{1}{3} }{1 + \gamma } \frac{ \pi l (1 + \gamma ) }{3v} = l \frac{ \pi \left ( \gamma + \frac{1}{3} \right ) }{3} > \frac{2}{3} l \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{l}{ \sqrt{3} }$,
то удара нет. Таким образом, второго удара не будет при
$\gamma > \frac{ \sqrt{3} }{ \pi} - \frac{1}{3} = 0,22$.
Ясно, что при $m = M$ (как в первой части условия) удара заведомо не произойдет.
На гладком горизонтальном столе лежит гантелька, состоящая из двух маленьких шариков, массы которых $M$ и $M/2$, скрепленных жестким невесомым стержнем. Еще один маленький шарик массой $M$ движется по столу перпендикулярно гантельке и налетает на шарик $M$ гантельки точно в лоб. Происходит абсолютно упругий удар. Как движется гантелька после удара? Произойдет ли еще хотя бы один удар шарика и гантельки? Пусть теперь налетающий шарик имеет массу $m$. При каких соотношениях между $m$ и $M$ произойдет второй удар?
Решение:
Пусть налетающий шарик имеет массу $m$ и перед ударом движется вправо со скоростью $v$ (рис.). Обозначим его скорость после удара $u_{1}$, а скорость столкнувшегося с ним шарика гантельки - $u_{2}$ (второй шарик гантельки в этом ударе участия не принимает). Тогда
$mv = mu_{1} + Mu_{2}, \frac{mv^{2} }{2} = \frac{mu_{1}^{2} }{2} + \frac{Mu_{2}^{2} }{2}$,
или, обозначив $M/m = \gamma$,
$v - u_{1} = \gamma u_{2}, v^{2} - u_{1}^{2} = \gamma u_{2}^{2}$.
Отсюда
$u_{1} = v \frac{1 - \gamma}{1 + \gamma}, u_{2} = v \frac{2}{1 + \gamma }$.
Центр масс гантельки после улара летит вправо со скоростью
$u = \frac{Mu_{2} }{M + \frac{M}{2} } = \frac{2}{3} v \frac{2}{1 + \gamma } = \frac{4v}{3(1 + \gamma )}$.
Кроме того, есть вращение относительно центра масс с угловой скоростью
$\omega = \frac{u_{2} - u }{ \frac{l}{3} } = \frac{2v}{l (1 + \gamma) }$.
Для ответа на следующие вопросы перейдем в систему отсчета, которая едет вместе с центром масс гантельки - в ней гантелька просто вращается. Из геометрии (рис.) ясно, что угол поворота до "критического" положения, когда может произойти второй удар, составляет $120^{ \circ}$, т.е. время между ударами равно
$\tau = \frac{2 \pi /3}{ \omega} = \frac{ \pi l (1 + \gamma ) }{3v}$.
Скорость налетавшего шарика в этой системе отсчета равна
$u_{1} - u = \frac{v(1 - \gamma )}{1 + \gamma } - \frac{4v}{3(1 + \gamma )} = - v \frac{ \gamma + \frac{1}{3} }{1 + \gamma }$.
Если
$v \frac{ \gamma + \frac{1}{3} }{1 + \gamma } \frac{ \pi l (1 + \gamma ) }{3v} = l \frac{ \pi \left ( \gamma + \frac{1}{3} \right ) }{3} > \frac{2}{3} l \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{l}{ \sqrt{3} }$,
то удара нет. Таким образом, второго удара не будет при
$\gamma > \frac{ \sqrt{3} }{ \pi} - \frac{1}{3} = 0,22$.
Ясно, что при $m = M$ (как в первой части условия) удара заведомо не произойдет.
