Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12832
2020-01-22 
Трансформатор имеет две одинаковые обмотки, намотанные на тороидальный сердечник. Индуктивность каждой обмотки $L$, активное сопротивление провода пренебрежимо мало. К источнику переменного напряжения частоты $\omega$ подключают одну из обмоток непосредственно, а другую - последовательно с резистором сопротивлением $R$. Найдите сдвиг фаз между напряжением и током источника. Рассеяние магнитного потока мало, внутреннее сопротивление источника равно нулю.
Решение:
Обмотки трансформатора можно включить двумя способами - в одном случае поля токов обмоток складываются, а в другом вычитаются. Рассмотрим вначале первый случай, когда
$\mathcal{E}_{i} = - LI_{1}^{ \prime} - LI_{2}^{ \prime}$.
Первая катушка подключена непосредственно к сети, поэтому величина ЭДС индукции равна напряжению (мгновенному) сети: $- LI_{общ}^{ \prime} = U$. Видно, что в этом случае трансформатор с резистором ведет себя как простая катушка индуктивностью $L$ и сдвиг фаз составляет $90^{ \circ}$. Собственно, это понятный результат - ток через резистор в этом случае вовсе не течет, его концы подключены к точкам с одинаковыми потенциалами и от всего трансформатора остается одна катушка индуктивностью $L$. Второй случай сложнее Поля вычитаются, и мы можем записать
$\mathcal{E}_{i} = -LI_{1}^{ \prime} + LI_{2}^{ \prime}$, или $\mathcal{E}_{i} = -L(I_{1}^{ \prime} - I_{2}^{ \prime})$.
Для тока $I_{1} - I_{2}$ получается точно такое соотношение, как если бы этот ток протекал но катушке индуктивностью $L$, включенной в сеть напряжением $U$. Но ток $I_{2}$ мы легко можем найти - этот ток протекает по резистору сопротивлением $R$, а напряжение на этом резисторе составляет $2U$, т.е.
$I_{2} = \frac{2U}{R}$.
Изобразим все это на векторной диаграмме (см. рисунок) Ток источника равен $I_{1} + I_{2}$, значит, на векторной диаграмме нужно сложить токи $I_{2} - I_{2}$ и $2I_{2}$. Тогда для искомого сдвига фаз получаем соотношение
$tg \phi = \frac{I_{1} - I_{2} }{2I_{2} } = \frac{ \frac{U}{ \omega L} }{ \frac{4U}{R} } = \frac{R}{4 \omega L}$.
Результат этот можно получить также, анализируя схему подключения резистора к сети - через "повышающий автотрансформатор".
Трансформатор имеет две одинаковые обмотки, намотанные на тороидальный сердечник. Индуктивность каждой обмотки $L$, активное сопротивление провода пренебрежимо мало. К источнику переменного напряжения частоты $\omega$ подключают одну из обмоток непосредственно, а другую - последовательно с резистором сопротивлением $R$. Найдите сдвиг фаз между напряжением и током источника. Рассеяние магнитного потока мало, внутреннее сопротивление источника равно нулю.
Решение:
Обмотки трансформатора можно включить двумя способами - в одном случае поля токов обмоток складываются, а в другом вычитаются. Рассмотрим вначале первый случай, когда
$\mathcal{E}_{i} = - LI_{1}^{ \prime} - LI_{2}^{ \prime}$.
Первая катушка подключена непосредственно к сети, поэтому величина ЭДС индукции равна напряжению (мгновенному) сети: $- LI_{общ}^{ \prime} = U$. Видно, что в этом случае трансформатор с резистором ведет себя как простая катушка индуктивностью $L$ и сдвиг фаз составляет $90^{ \circ}$. Собственно, это понятный результат - ток через резистор в этом случае вовсе не течет, его концы подключены к точкам с одинаковыми потенциалами и от всего трансформатора остается одна катушка индуктивностью $L$. Второй случай сложнее Поля вычитаются, и мы можем записать
$\mathcal{E}_{i} = -LI_{1}^{ \prime} + LI_{2}^{ \prime}$, или $\mathcal{E}_{i} = -L(I_{1}^{ \prime} - I_{2}^{ \prime})$.
Для тока $I_{1} - I_{2}$ получается точно такое соотношение, как если бы этот ток протекал но катушке индуктивностью $L$, включенной в сеть напряжением $U$. Но ток $I_{2}$ мы легко можем найти - этот ток протекает по резистору сопротивлением $R$, а напряжение на этом резисторе составляет $2U$, т.е.
$I_{2} = \frac{2U}{R}$.
Изобразим все это на векторной диаграмме (см. рисунок) Ток источника равен $I_{1} + I_{2}$, значит, на векторной диаграмме нужно сложить токи $I_{2} - I_{2}$ и $2I_{2}$. Тогда для искомого сдвига фаз получаем соотношение
$tg \phi = \frac{I_{1} - I_{2} }{2I_{2} } = \frac{ \frac{U}{ \omega L} }{ \frac{4U}{R} } = \frac{R}{4 \omega L}$.
Результат этот можно получить также, анализируя схему подключения резистора к сети - через "повышающий автотрансформатор".
