Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1281
2016-10-21 
Монокристаллы галлия, как и ряда других проводников, обладают анизотропией сопротивления: удельное сопротивление $\rho_{x}$ галлия вдоль главной оси симметрии монокристалла (оси $X$) максимально, а вдоль любой другой оси, перпендикулярной оси $X$, минимально и равно $\rho$. Из кристалла галлия вырезали тонкую прямоугольную пластинку (см. рисунок) длиной $a = 3 см$ и шириной $b = 3 мм$ так, что ось $X$ параллельна грани $ABCD$ пластинки и образует с ребром $AB$ угол $\alpha = 60^{ \circ}$. Если между гранями пластинки, перпендикулярными $AB$, создать постоянную разность потенциалов $V = 100 мВ$, то через пластинку потечёт ток, и в её середине между точками F и G поперечного сечения будет существовать разность потенциалов $U = 6,14 мВ$. Найдите отношение $\rho_{x}/ \rho$.
Решение:
После создания разности потенциалов $V$ в процессе установления тока на поверхностях пластинки накапливаются избыточные заряды, которые и создают в проводнике электрическое поле. Считая, что потенциал грани AD больше потенциала грани ВС, и потенциал точки F превышает потенциал точки G, напряжённость поля $\vec{E}$ в среднем сечении пластинки можно представить в виде суммы компонент $\vec{E}_{\parallel}$ и $\vec{E}_{ \perp}$ (см. рис.), либо в виде суммы компонент $\vec{E}_{x}$ и $\vec{E}_{y}$, где ось Y перпендикулярна главной оси симметрии монокристалла X и лежит в плоскости, параллельной грани ABCD. Обозначим угол между векторами $\vec{E}_{ \parallel}$ и $\vec{E}_{x}$ через $\alpha$. Тогда
$E_{ \parallel} = E_{x} \cos \alpha + E_{y} \sin \alpha$,
$E_{ \perp} = E_{x} \cos \alpha - E_{y} \cos \alpha$,
В установившемся режиме по пластинке протекает ток, вектор плотности которого $\vec{j}$ параллелен стороне АВ. Поэтому $j_{x} \sin \alpha = j_{y} \cos \alpha$. Согласно закону Ома $E_{x} = \rho_{x} j_{x}$ и $E_{y} = \rho j_{y}$. Следовательно,
$\frac{ \rho_{x}}{ \rho} = \frac{E_{x}}{E_{y}} tg \alpha$.
Поскольку пластинка вырезана из однородного кристалла, имеет неизменную площадь поперечного сечения и достаточно длинная (её длина в 10 раз больше ширины), то можно считать, что во всех точках поперечного сечения пластинки плотность постоянного тока одинакова, и $U = E_{ \perp} b$. Считая, что вдоль оси пластинки плотность тока также постоянна, получим $V = E_{ \parallel} a$. Выражая величины $E_{x}$ и $E_{y}$ через $E_{ \parallel}$ и $E_{ \perp}$, а их, в свою очередь, через $U$ и $V$, получаем, что искомое отношение равно
$\frac{ \rho_{x}}{ \rho} = \frac{Vb \cos \alpha + U a \sin \alpha}{ Vb \sin \alpha - U a \cos \alpha} tg \alpha \approx 3,20$.
Отметим, что по данным, приведённым в справочнике физических величин, для монокристалла галлия
$\frac{ \rho_{x}}{ \rho} = \frac{55,5 \cdot 10^{-6} Ом \cdot см}{17,3 \cdot 10^{-6} Ом \cdot см} \approx 3,21$.
Монокристаллы галлия, как и ряда других проводников, обладают анизотропией сопротивления: удельное сопротивление $\rho_{x}$ галлия вдоль главной оси симметрии монокристалла (оси $X$) максимально, а вдоль любой другой оси, перпендикулярной оси $X$, минимально и равно $\rho$. Из кристалла галлия вырезали тонкую прямоугольную пластинку (см. рисунок) длиной $a = 3 см$ и шириной $b = 3 мм$ так, что ось $X$ параллельна грани $ABCD$ пластинки и образует с ребром $AB$ угол $\alpha = 60^{ \circ}$. Если между гранями пластинки, перпендикулярными $AB$, создать постоянную разность потенциалов $V = 100 мВ$, то через пластинку потечёт ток, и в её середине между точками F и G поперечного сечения будет существовать разность потенциалов $U = 6,14 мВ$. Найдите отношение $\rho_{x}/ \rho$.
Решение:
После создания разности потенциалов $V$ в процессе установления тока на поверхностях пластинки накапливаются избыточные заряды, которые и создают в проводнике электрическое поле. Считая, что потенциал грани AD больше потенциала грани ВС, и потенциал точки F превышает потенциал точки G, напряжённость поля $\vec{E}$ в среднем сечении пластинки можно представить в виде суммы компонент $\vec{E}_{\parallel}$ и $\vec{E}_{ \perp}$ (см. рис.), либо в виде суммы компонент $\vec{E}_{x}$ и $\vec{E}_{y}$, где ось Y перпендикулярна главной оси симметрии монокристалла X и лежит в плоскости, параллельной грани ABCD. Обозначим угол между векторами $\vec{E}_{ \parallel}$ и $\vec{E}_{x}$ через $\alpha$. Тогда
$E_{ \parallel} = E_{x} \cos \alpha + E_{y} \sin \alpha$,
$E_{ \perp} = E_{x} \cos \alpha - E_{y} \cos \alpha$,
В установившемся режиме по пластинке протекает ток, вектор плотности которого $\vec{j}$ параллелен стороне АВ. Поэтому $j_{x} \sin \alpha = j_{y} \cos \alpha$. Согласно закону Ома $E_{x} = \rho_{x} j_{x}$ и $E_{y} = \rho j_{y}$. Следовательно,
$\frac{ \rho_{x}}{ \rho} = \frac{E_{x}}{E_{y}} tg \alpha$.
Поскольку пластинка вырезана из однородного кристалла, имеет неизменную площадь поперечного сечения и достаточно длинная (её длина в 10 раз больше ширины), то можно считать, что во всех точках поперечного сечения пластинки плотность постоянного тока одинакова, и $U = E_{ \perp} b$. Считая, что вдоль оси пластинки плотность тока также постоянна, получим $V = E_{ \parallel} a$. Выражая величины $E_{x}$ и $E_{y}$ через $E_{ \parallel}$ и $E_{ \perp}$, а их, в свою очередь, через $U$ и $V$, получаем, что искомое отношение равно
$\frac{ \rho_{x}}{ \rho} = \frac{Vb \cos \alpha + U a \sin \alpha}{ Vb \sin \alpha - U a \cos \alpha} tg \alpha \approx 3,20$.
Отметим, что по данным, приведённым в справочнике физических величин, для монокристалла галлия
$\frac{ \rho_{x}}{ \rho} = \frac{55,5 \cdot 10^{-6} Ом \cdot см}{17,3 \cdot 10^{-6} Ом \cdot см} \approx 3,21$.
