Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12808
2020-01-22 
На гладкой наклонной плоскости удерживают клин массой $M$ (рис.). Верхняя грань клина горизонтальна, и на ней находится кубик массой $5M$. Клин отпускают, и он начинает скользить по наклонной плоскости. Каким может быть максимальное ускорение клина?
Решение:
В условии не задан угол наклона плоскости $\alpha$ относительно земли - нам придется исследовать зависимость ускорения клина от величины этого угла.
Обозначим ускорение клина вдоль наклонной плоскости через $a$, тогда ускорение кубика будет $a \sin \alpha$ (вдоль вертикальной оси клин и кубик едут вместе). Запишем уравнения движения клина и кубика (рис.):
$(Mg + N) \sin \alpha = Ma, 5Mg- N = 5M a \sin \alpha$.
Исключая из этих уравнений силу $N$, получим
$a = g \frac{6 \sin \alpha}{5 \sin^{2} \alpha + 1 }$.
Для нахождения максимального значения ускорения можно приравнять к нулю производную правой части по углу $\alpha$, но можно обойтись и без этого:
$a = g \frac{6}{5 \sin \alpha + \frac{1}{ \sin \alpha} } = \frac{6g}{ \sqrt{5} } \frac{1}{ \sqrt{5} \sin \alpha + \frac{1}{ \sqrt{5} \sin \alpha } }$.
Сумма взаимно обратных величин в знаменателе дроби минимальна (а значит, дробь максимальна) когда эти величины равны между собой. Итак, при $\alpha_{0} = arcsin \frac{1}{ \sqrt{5} }$ ускорение клина максимально и составляет
$a_{max} = \frac{3}{ \sqrt{5} } g = 1,34g$.
На гладкой наклонной плоскости удерживают клин массой $M$ (рис.). Верхняя грань клина горизонтальна, и на ней находится кубик массой $5M$. Клин отпускают, и он начинает скользить по наклонной плоскости. Каким может быть максимальное ускорение клина?
Решение:
В условии не задан угол наклона плоскости $\alpha$ относительно земли - нам придется исследовать зависимость ускорения клина от величины этого угла.
Обозначим ускорение клина вдоль наклонной плоскости через $a$, тогда ускорение кубика будет $a \sin \alpha$ (вдоль вертикальной оси клин и кубик едут вместе). Запишем уравнения движения клина и кубика (рис.):
$(Mg + N) \sin \alpha = Ma, 5Mg- N = 5M a \sin \alpha$.
Исключая из этих уравнений силу $N$, получим
$a = g \frac{6 \sin \alpha}{5 \sin^{2} \alpha + 1 }$.
Для нахождения максимального значения ускорения можно приравнять к нулю производную правой части по углу $\alpha$, но можно обойтись и без этого:
$a = g \frac{6}{5 \sin \alpha + \frac{1}{ \sin \alpha} } = \frac{6g}{ \sqrt{5} } \frac{1}{ \sqrt{5} \sin \alpha + \frac{1}{ \sqrt{5} \sin \alpha } }$.
Сумма взаимно обратных величин в знаменателе дроби минимальна (а значит, дробь максимальна) когда эти величины равны между собой. Итак, при $\alpha_{0} = arcsin \frac{1}{ \sqrt{5} }$ ускорение клина максимально и составляет
$a_{max} = \frac{3}{ \sqrt{5} } g = 1,34g$.
