Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12802
2020-01-22 
На двух легких нерастяжимых нитях, длиной $R$ каждая, подвешена проволочная дуга того же радиуса $R$, имеющая длину $L$ (см. рисунок). Найдите период малых колебаний такого маятника, если нити и дуга при движении остаются в вертикальной плоскости.
Решение:
Отклоним систему на очень малый угол $\phi$. Возвращающий момент сил тяжести относительно точки подвеса определяется "излишком" массы $m$ с одной стороны и "недостатком" - с другой:
$2mg R \sin \alpha = 2 \left ( \frac{M}{L} R \phi \right ) gR \sin \alpha$,
где $2 \alpha$ - угол между нитями, $M$ - масса всей проволочной дуги. Момент инерции системы относительно точки подвеса найти очень легко - все "весомые" части находятся на расстоянии $R$ от нужной нам точки:
$I = MR^{2}$.
Теперь напишем уравнение для малых колебаний - аналог второго закона Ньютона для вращательного движения:
$MR^{2} \phi^{ \prime \prime} = - \frac{2mR^{2} g \sin \alpha }{L} \phi$.
Из этого уравнения находим период колебаний:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{2g \sin \alpha} }$.
Угол $\alpha$ определяется отношением длины полудуги к радиусу:
$\alpha = \frac{L}{2R}$.
При малых дугах получается обычная формула для периода колебаний математического маятника (синус малого угла $\alpha$ заменяем самим углом).
У этой задачи есть красивое решение, использующее только закон сохранения энергии (не нужно ничего при этом говорить про момент инерции) - попробуйте найти его самостоятельно. Подсказка: сравните максимальные значения потенциальной и кинетической энергии и вспомните, как выглядит это соотношение для гармонических колебаний.
На двух легких нерастяжимых нитях, длиной $R$ каждая, подвешена проволочная дуга того же радиуса $R$, имеющая длину $L$ (см. рисунок). Найдите период малых колебаний такого маятника, если нити и дуга при движении остаются в вертикальной плоскости.
Решение:
Отклоним систему на очень малый угол $\phi$. Возвращающий момент сил тяжести относительно точки подвеса определяется "излишком" массы $m$ с одной стороны и "недостатком" - с другой:
$2mg R \sin \alpha = 2 \left ( \frac{M}{L} R \phi \right ) gR \sin \alpha$,
где $2 \alpha$ - угол между нитями, $M$ - масса всей проволочной дуги. Момент инерции системы относительно точки подвеса найти очень легко - все "весомые" части находятся на расстоянии $R$ от нужной нам точки:
$I = MR^{2}$.
Теперь напишем уравнение для малых колебаний - аналог второго закона Ньютона для вращательного движения:
$MR^{2} \phi^{ \prime \prime} = - \frac{2mR^{2} g \sin \alpha }{L} \phi$.
Из этого уравнения находим период колебаний:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{2g \sin \alpha} }$.
Угол $\alpha$ определяется отношением длины полудуги к радиусу:
$\alpha = \frac{L}{2R}$.
При малых дугах получается обычная формула для периода колебаний математического маятника (синус малого угла $\alpha$ заменяем самим углом).
У этой задачи есть красивое решение, использующее только закон сохранения энергии (не нужно ничего при этом говорить про момент инерции) - попробуйте найти его самостоятельно. Подсказка: сравните максимальные значения потенциальной и кинетической энергии и вспомните, как выглядит это соотношение для гармонических колебаний.
