Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1280
2016-10-21 
В однородную среду с большим удельным сопротивлением погружены два одинаковых металлических шара. Радиус каждого шара мал по сравнению с глубиной его погружения в среду и с расстоянием между шарами. Шары с помощью тонких изолированных проводников подключены к источнику постоянного напряжения. При этом через источник течёт ток $I$. Какой ток будет идти через источник, если один из этих шаров заменить другим, у которого радиус в два раза меньше? Сопротивлением проводников и источника пренебречь.
Решение:
Так как радиус каждого шара мал по сравнению с глубиной его погружения в среду и с расстоянием между шарами, то вблизи каждого шара ток распределён сферически симметрично. Обозначим радиусы шаров через $R_{1}$ и $R_{2}$, удельное сопротивление среды через $\rho$, её диэлектрическую проницаемость через $\epsilon$. Пусть на первом шаре в установившемся режиме находится положительный заряд $q_{1}$, а на втором — отрицательный заряд $q_{2}$. Окружим первый шар воображаемыми концентрическими сферическими поверхностями с радиусами $r$ и $r + \Delta r ( \Delta r \ll r)$ и найдём напряжение $\Delta U$ между этими поверхностями:
$\Delta U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon} \cdot \frac{q_{1}}{r} - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon} \cdot \frac{q_{1}}{r + \Delta r} = \frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2}} \Delta r$.
Сопротивление среды, находящейся между рассматриваемыми поверхностями, равно $\Delta \tilde{R} = \rho \frac{ \Delta r}{4 \pi r^{2}}$. Значит, в соответствии с законом Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, сила тока, текущего между рассматриваемыми поверхностями, равна
$i = \frac{ \Delta U}{ \Delta R} = \frac{q_{1}}{ \epsilon_{0} \epsilon \rho}$.
Поскольку сила тока вдоль всей цепи одинакова, то из полученной формулы следует, что заряды на обоих шарах одинаковы по величине: $q_{1} = |q_{2}| = i \epsilon_{0} \epsilon \rho$. Следовательно, потенциалы шаров равны
$\phi_{1} = \frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon R_{1}} = \frac{ \rho i}{4 \pi R_{1}}, \phi_{2} = \frac{q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon R_{2}} = - \frac{ \rho i}{4 \pi R_{2}}$.
Поскольку сопротивление источника и соединительных проводников пренебрежимо мало, то разность потенциалов между шарами равна ЭДС источника:
$\mathcal{E} = \phi_{1} - \phi_{2} = \frac{ \rho i}{4 \pi} \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )$.
Отсюда получаем связь между радиусами шаров и силой тока в цепи:
$i = \frac{4 \pi \mathcal{E}}{ \rho \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )}$.
По условию задачи, когда погруженные в среду шары одинаковы, $(R_{1} = R_{2} = R)$, в цепи течет ток, сила которого равна $I = \frac{2 \pi \mathcal{E} R}{ \rho}$. Если же один из шаров заменить шаром вдвое меньшего размера ($R_{1} = R, R_{2} = R/2$), то в цепи будет течь ток $I^{ \prime} = \frac{4 \pi \mathcal{E} R}{3 \rho} = \frac{2}{3} I$.
В однородную среду с большим удельным сопротивлением погружены два одинаковых металлических шара. Радиус каждого шара мал по сравнению с глубиной его погружения в среду и с расстоянием между шарами. Шары с помощью тонких изолированных проводников подключены к источнику постоянного напряжения. При этом через источник течёт ток $I$. Какой ток будет идти через источник, если один из этих шаров заменить другим, у которого радиус в два раза меньше? Сопротивлением проводников и источника пренебречь.
Решение:
Так как радиус каждого шара мал по сравнению с глубиной его погружения в среду и с расстоянием между шарами, то вблизи каждого шара ток распределён сферически симметрично. Обозначим радиусы шаров через $R_{1}$ и $R_{2}$, удельное сопротивление среды через $\rho$, её диэлектрическую проницаемость через $\epsilon$. Пусть на первом шаре в установившемся режиме находится положительный заряд $q_{1}$, а на втором — отрицательный заряд $q_{2}$. Окружим первый шар воображаемыми концентрическими сферическими поверхностями с радиусами $r$ и $r + \Delta r ( \Delta r \ll r)$ и найдём напряжение $\Delta U$ между этими поверхностями:
$\Delta U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon} \cdot \frac{q_{1}}{r} - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon} \cdot \frac{q_{1}}{r + \Delta r} = \frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2}} \Delta r$.
Сопротивление среды, находящейся между рассматриваемыми поверхностями, равно $\Delta \tilde{R} = \rho \frac{ \Delta r}{4 \pi r^{2}}$. Значит, в соответствии с законом Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, сила тока, текущего между рассматриваемыми поверхностями, равна
$i = \frac{ \Delta U}{ \Delta R} = \frac{q_{1}}{ \epsilon_{0} \epsilon \rho}$.
Поскольку сила тока вдоль всей цепи одинакова, то из полученной формулы следует, что заряды на обоих шарах одинаковы по величине: $q_{1} = |q_{2}| = i \epsilon_{0} \epsilon \rho$. Следовательно, потенциалы шаров равны
$\phi_{1} = \frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon R_{1}} = \frac{ \rho i}{4 \pi R_{1}}, \phi_{2} = \frac{q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon R_{2}} = - \frac{ \rho i}{4 \pi R_{2}}$.
Поскольку сопротивление источника и соединительных проводников пренебрежимо мало, то разность потенциалов между шарами равна ЭДС источника:
$\mathcal{E} = \phi_{1} - \phi_{2} = \frac{ \rho i}{4 \pi} \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )$.
Отсюда получаем связь между радиусами шаров и силой тока в цепи:
$i = \frac{4 \pi \mathcal{E}}{ \rho \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )}$.
По условию задачи, когда погруженные в среду шары одинаковы, $(R_{1} = R_{2} = R)$, в цепи течет ток, сила которого равна $I = \frac{2 \pi \mathcal{E} R}{ \rho}$. Если же один из шаров заменить шаром вдвое меньшего размера ($R_{1} = R, R_{2} = R/2$), то в цепи будет течь ток $I^{ \prime} = \frac{4 \pi \mathcal{E} R}{3 \rho} = \frac{2}{3} I$.
