Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12796
2020-01-22 
К батарейке напряжением $U_{0}$ подключены последовательно соединенные конденсаторы, емкости которых $C$ и $3C$. В некоторый момент параллельно конденсатору $3C$ подключают цепочку, состоящую из последовательно соединенных катушки индуктивностью $L$ и идеального диода (диод включен так, что при вы бранной полярности батарейки через него может течь ток). Найдите максимальный ток через катушку. Какое напряжение установится на конденсаторе С после прекращения тока через катушку? Через какое время после подключения ток через катушку станет равным нулю?
Решение:
Пока ток через катушку течет в правильном направлении. идеальный диод не влияет на процессы в цепи. Его роль проявится в тот момент, когда ток через катушку станет равным нулю, а потом "захочет" сменить направление - диод отключит катушку и процесс закончится. Итак, в момент максимальности тока через катушку напряжение на ней (и на конденсаторе емкостью $3C$) обращается в ноль, значит, заряд конденсатора емкостью $C$ составит $CU_{0}$. Следовательно, батарейка "протолкнула" по цепи заряд
$q_{нач} - q_{кон} = CU_{0} - \frac{3}{4}CU_{0} = \frac{1}{4} CU_{0}$.
Запишем энергетический баланс
$\frac{3}{4} C \frac{U_{0}^{2} }{2} + \frac{1}{4}CU_{0} \cdot U_{0} = \frac{CU_{0}^{2} }{2} + \frac{LI_{m}^{2} }{2}$,
откуда получим
$I_{m} = \frac{U_{0} }{2} \sqrt{ \frac{C}{L} }$.
Немного сложнее определить максимальное напряжение на конденсаторе $C$. Обозначим его величину $U$, тогда напряжение на конденсаторе $3C$ составит $U_{0} - U$. Энергия катушки равна нулю, поэтому баланс энергий запишем в виде
$\frac{CU^{2}}{2} + \frac{3C(U_{0} - U )^{2} }{2} = \frac{3}{4} C \frac{U_{0}^{2} }{2} + U_{0} \left ( CU - \frac{3}{4} CU_{0} \right )$.
Отсюда после простых преобразований найдем
$U = U_{0} \pm \frac{1}{4} U_{0}$.
Ясно, что иас интересует только больший из корней, тогда окончательно
$U = \frac{5}{4}U_{0}$.
Для нахождения времени протекания процесса заметим что сумма напряжений конденсаторов постоянна, значит, при стекании заряда $\Delta q$ с конденсатора $3C$ на конденсатор $C$ притечет заряд $\frac{ \Delta q}{З}$, а по катушке протечет заряд $\frac{4 \Delta q}{3}$. Обозначив заряд конденсатора $3C$ через $q$, получаем
$\frac{q}{3C} = - LI^{ \prime} = - \frac{4}{3} Lq^{ \prime \prime}$,
или
$Lq^{ \prime \prime} + \frac{q}{4C} = 0$.
Это уравнение соответствует колебательному контуру с параметрами $L$ и $4C$, и интересующий нас процесс продолжается ровно половину периода его колебаний, т.е.
$\tau = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} 2 \pi \sqrt{LC} = 2 \pi \sqrt{LC}$.
К батарейке напряжением $U_{0}$ подключены последовательно соединенные конденсаторы, емкости которых $C$ и $3C$. В некоторый момент параллельно конденсатору $3C$ подключают цепочку, состоящую из последовательно соединенных катушки индуктивностью $L$ и идеального диода (диод включен так, что при вы бранной полярности батарейки через него может течь ток). Найдите максимальный ток через катушку. Какое напряжение установится на конденсаторе С после прекращения тока через катушку? Через какое время после подключения ток через катушку станет равным нулю?
Решение:
Пока ток через катушку течет в правильном направлении. идеальный диод не влияет на процессы в цепи. Его роль проявится в тот момент, когда ток через катушку станет равным нулю, а потом "захочет" сменить направление - диод отключит катушку и процесс закончится. Итак, в момент максимальности тока через катушку напряжение на ней (и на конденсаторе емкостью $3C$) обращается в ноль, значит, заряд конденсатора емкостью $C$ составит $CU_{0}$. Следовательно, батарейка "протолкнула" по цепи заряд
$q_{нач} - q_{кон} = CU_{0} - \frac{3}{4}CU_{0} = \frac{1}{4} CU_{0}$.
Запишем энергетический баланс
$\frac{3}{4} C \frac{U_{0}^{2} }{2} + \frac{1}{4}CU_{0} \cdot U_{0} = \frac{CU_{0}^{2} }{2} + \frac{LI_{m}^{2} }{2}$,
откуда получим
$I_{m} = \frac{U_{0} }{2} \sqrt{ \frac{C}{L} }$.
Немного сложнее определить максимальное напряжение на конденсаторе $C$. Обозначим его величину $U$, тогда напряжение на конденсаторе $3C$ составит $U_{0} - U$. Энергия катушки равна нулю, поэтому баланс энергий запишем в виде
$\frac{CU^{2}}{2} + \frac{3C(U_{0} - U )^{2} }{2} = \frac{3}{4} C \frac{U_{0}^{2} }{2} + U_{0} \left ( CU - \frac{3}{4} CU_{0} \right )$.
Отсюда после простых преобразований найдем
$U = U_{0} \pm \frac{1}{4} U_{0}$.
Ясно, что иас интересует только больший из корней, тогда окончательно
$U = \frac{5}{4}U_{0}$.
Для нахождения времени протекания процесса заметим что сумма напряжений конденсаторов постоянна, значит, при стекании заряда $\Delta q$ с конденсатора $3C$ на конденсатор $C$ притечет заряд $\frac{ \Delta q}{З}$, а по катушке протечет заряд $\frac{4 \Delta q}{3}$. Обозначив заряд конденсатора $3C$ через $q$, получаем
$\frac{q}{3C} = - LI^{ \prime} = - \frac{4}{3} Lq^{ \prime \prime}$,
или
$Lq^{ \prime \prime} + \frac{q}{4C} = 0$.
Это уравнение соответствует колебательному контуру с параметрами $L$ и $4C$, и интересующий нас процесс продолжается ровно половину периода его колебаний, т.е.
$\tau = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} 2 \pi \sqrt{LC} = 2 \pi \sqrt{LC}$.
