Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12791
2020-01-22 
Жесткий легкий стержень шарнирно закреплен одним из концов. На расстоянии $a = 0,1 м$ от этого конца на стержне укреплен груз массой $M = 0,3 кг$, на расстоянии $2a$ - груз массой $m$ и на расстоянии $3a$ - груз массой $\frac{M}{3} = 0,1 кг$. Все грузы имеют малые размеры. Как зависит период колебаний получившегося маятника (так называемый физический маятник) от массы второго груза $m$?
Решение:
Для малых углов отклонения колебания будем считать гармоническими, а период малых колебаний найдем стандартным способом - приравнивая максимальные значения кинетической и потенциальной энергии маятника.
Для гармонических колебаний максимальное значение угловой скорости стержня $\omega_{m}$ и максимальный угол его отклонения $\alpha_{m}$ связаны соотношением
$\omega_{m} = \frac{2 \pi}{T} \alpha_{m}$,
где $T$ - период колебаний. Потенциальная энергия для максимального (малого!) угла $\alpha_{m}$ составляет
$W_{p} = Mg \cdot a(1 - \cos \alpha_{m} ) + mg \cdot 2a(1 - \cos \alpha_{m} ) + \frac{Mg}{3} 3a(1 - \cos \alpha_{m} ) = 4(M + m)ga \sin^{2} \frac{ \alpha_{m} }{2} = (M + m) g a \alpha_{m}^{2}$.
Кинетическая энергия при прохождении стержнем положения равновесия с угловой скоростью $\omega_{m}$ равна
$W_{k} = \frac{M(a \omega_{m} )^{2} }{2} + \frac{m(2a \omega_{m} )^{2} }{2} + \frac{ \frac{M}{3} (3a \omega_{m} )^{2} }{2} =2(M + m)a^{2} \omega_{m}^{2}$.
Приравнивая эти энергии, находим
$\omega_{m} = \sqrt{ \frac{g}{2a} } \alpha_{M}$.
Тогда
$T = 2 \pi \frac{ \alpha_{m} }{ \omega_{m} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2a}{g} }$.
Получился интересный результат - от массы $m$ ответ вовсе не зависит и период нашего маятника совпадает с периодом колебаний математического маятника длиной $2a$. Но как раз на таком расстоянии от точки подвеса и находится грузик массой $m$, так что результат этот не случаен.
Жесткий легкий стержень шарнирно закреплен одним из концов. На расстоянии $a = 0,1 м$ от этого конца на стержне укреплен груз массой $M = 0,3 кг$, на расстоянии $2a$ - груз массой $m$ и на расстоянии $3a$ - груз массой $\frac{M}{3} = 0,1 кг$. Все грузы имеют малые размеры. Как зависит период колебаний получившегося маятника (так называемый физический маятник) от массы второго груза $m$?
Решение:
Для малых углов отклонения колебания будем считать гармоническими, а период малых колебаний найдем стандартным способом - приравнивая максимальные значения кинетической и потенциальной энергии маятника.
Для гармонических колебаний максимальное значение угловой скорости стержня $\omega_{m}$ и максимальный угол его отклонения $\alpha_{m}$ связаны соотношением
$\omega_{m} = \frac{2 \pi}{T} \alpha_{m}$,
где $T$ - период колебаний. Потенциальная энергия для максимального (малого!) угла $\alpha_{m}$ составляет
$W_{p} = Mg \cdot a(1 - \cos \alpha_{m} ) + mg \cdot 2a(1 - \cos \alpha_{m} ) + \frac{Mg}{3} 3a(1 - \cos \alpha_{m} ) = 4(M + m)ga \sin^{2} \frac{ \alpha_{m} }{2} = (M + m) g a \alpha_{m}^{2}$.
Кинетическая энергия при прохождении стержнем положения равновесия с угловой скоростью $\omega_{m}$ равна
$W_{k} = \frac{M(a \omega_{m} )^{2} }{2} + \frac{m(2a \omega_{m} )^{2} }{2} + \frac{ \frac{M}{3} (3a \omega_{m} )^{2} }{2} =2(M + m)a^{2} \omega_{m}^{2}$.
Приравнивая эти энергии, находим
$\omega_{m} = \sqrt{ \frac{g}{2a} } \alpha_{M}$.
Тогда
$T = 2 \pi \frac{ \alpha_{m} }{ \omega_{m} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2a}{g} }$.
Получился интересный результат - от массы $m$ ответ вовсе не зависит и период нашего маятника совпадает с периодом колебаний математического маятника длиной $2a$. Но как раз на таком расстоянии от точки подвеса и находится грузик массой $m$, так что результат этот не случаен.
