Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12787
2020-01-22 
Вокруг Солнца на орбите Земли (считайте эту орбиту круговой) обращается спутник массой $m = 100 кг$. В некоторый момент спутник открывает солнечный парус - круг из тонкой зеркальной пленки радиусом $r = 70 м$, который все время ориентирован перпендикулярно направлению на Солнце. Пренебрегая влиянием планет, найдите период обращения спутника с открытым парусом. Световая мощность Солнца $L = 3,86 \cdot 10^{26} Вт$, масса Солнца $M = 2 \cdot 10^{30} кг$, гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Дж \cdot м/кг^{2}$.
Решение:
Иллюстрацией к решению задачи служит рисунок. Для вращения на орбите Земли должно выполняться условие
$\frac{mv_{0}^{2} }{R_{0} } = G \frac{mM}{R_{0}^{2} } = F_{0}$.
После раскрытия паруса на спутник кроме гравитационной начинает действовать еще и сила светового давления, равная
$F = 2 \frac{W}{c}$,
где $W$ - световая мощность, падающая на парус. Так как излучение Солнца изотропно, то
$F = 2 \frac{L}{c} \frac{ \pi r^{2} }{4 \pi R^{2} }$,
где $R$ - расстояние до Солнца. Обозначим $\alpha = GmM$ и $\beta = \frac{Lr^{2}}{2c}$. Тогда равнодействующая, приложенная к спутнику, будет равна
$F_{p} = \frac{ \alpha}{R^{2} } - \frac{ \beta}{R^{2} } = \frac{ \alpha - \beta }{R^{2} }$.
Поскольку $F_{p}$, как и $F_{0}$ пропорциональна $R^{-2}$, движение спутника с парусом будет подчиняться законам Кеплера. В частности, траекторией движения будет эллипс Найдем его большую полуось.
Из второго закона Кеплера следует, что
$v_{0}R_{0} = v_{1}R_{1}$,
а из закона сохранения энергии -
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} - \frac{ \alpha - \beta }{R_{0} } = \frac{mv_{1}^{2} }{2} - \frac{ \alpha - \beta }{R_{1} }$.
Отсюда получим
$R_{1} = \frac{R_{0}^{2}v_{0}^{2} }{ \frac{2( \alpha - \beta )}{m} - R_{0}v_{0}^{2} } = R_{0} \frac{ \alpha }{ \alpha - 2 \beta }$.
Большая полуось эллипса будет равна
$a = \frac{1}{2} (R_{1} + R_{0} ) = R_{0} \frac{ \alpha - \beta}{ \alpha - 2 \beta }$.
По третьему закону Кеплера время обращения по такой орбите равно времени обращения по окружности радиусом $a$:
$T = \frac{2 \pi a}{u}$, причем $\frac{mu^{2} }{a} = \frac{ \alpha - \beta }{a^{2} }$.
Отсюда
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{a^{2}m }{ \alpha - \beta } }$.
С другой стороны, период обращения Земли составляет
$T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{R_{0}^{3} }{Gm} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{R_{0}^{3}m }{ \alpha} }$.
Тогда
$\frac{T}{T_{0} } = ( \alpha - \beta ) \sqrt{ \frac{ \alpha}{ ( \alpha - 2 \beta )^{3} } }$.
Так как $\frac{ \alpha}{ \beta } = \frac{2GmMc}{Lr^{2}} = 4,23$, то $\frac{T}{T_{0} } = 2$, т.е. искомый период - 2 года.
Вокруг Солнца на орбите Земли (считайте эту орбиту круговой) обращается спутник массой $m = 100 кг$. В некоторый момент спутник открывает солнечный парус - круг из тонкой зеркальной пленки радиусом $r = 70 м$, который все время ориентирован перпендикулярно направлению на Солнце. Пренебрегая влиянием планет, найдите период обращения спутника с открытым парусом. Световая мощность Солнца $L = 3,86 \cdot 10^{26} Вт$, масса Солнца $M = 2 \cdot 10^{30} кг$, гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Дж \cdot м/кг^{2}$.
Решение:
Иллюстрацией к решению задачи служит рисунок. Для вращения на орбите Земли должно выполняться условие
$\frac{mv_{0}^{2} }{R_{0} } = G \frac{mM}{R_{0}^{2} } = F_{0}$.
После раскрытия паруса на спутник кроме гравитационной начинает действовать еще и сила светового давления, равная
$F = 2 \frac{W}{c}$,
где $W$ - световая мощность, падающая на парус. Так как излучение Солнца изотропно, то
$F = 2 \frac{L}{c} \frac{ \pi r^{2} }{4 \pi R^{2} }$,
где $R$ - расстояние до Солнца. Обозначим $\alpha = GmM$ и $\beta = \frac{Lr^{2}}{2c}$. Тогда равнодействующая, приложенная к спутнику, будет равна
$F_{p} = \frac{ \alpha}{R^{2} } - \frac{ \beta}{R^{2} } = \frac{ \alpha - \beta }{R^{2} }$.
Поскольку $F_{p}$, как и $F_{0}$ пропорциональна $R^{-2}$, движение спутника с парусом будет подчиняться законам Кеплера. В частности, траекторией движения будет эллипс Найдем его большую полуось.
Из второго закона Кеплера следует, что
$v_{0}R_{0} = v_{1}R_{1}$,
а из закона сохранения энергии -
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} - \frac{ \alpha - \beta }{R_{0} } = \frac{mv_{1}^{2} }{2} - \frac{ \alpha - \beta }{R_{1} }$.
Отсюда получим
$R_{1} = \frac{R_{0}^{2}v_{0}^{2} }{ \frac{2( \alpha - \beta )}{m} - R_{0}v_{0}^{2} } = R_{0} \frac{ \alpha }{ \alpha - 2 \beta }$.
Большая полуось эллипса будет равна
$a = \frac{1}{2} (R_{1} + R_{0} ) = R_{0} \frac{ \alpha - \beta}{ \alpha - 2 \beta }$.
По третьему закону Кеплера время обращения по такой орбите равно времени обращения по окружности радиусом $a$:
$T = \frac{2 \pi a}{u}$, причем $\frac{mu^{2} }{a} = \frac{ \alpha - \beta }{a^{2} }$.
Отсюда
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{a^{2}m }{ \alpha - \beta } }$.
С другой стороны, период обращения Земли составляет
$T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{R_{0}^{3} }{Gm} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{R_{0}^{3}m }{ \alpha} }$.
Тогда
$\frac{T}{T_{0} } = ( \alpha - \beta ) \sqrt{ \frac{ \alpha}{ ( \alpha - 2 \beta )^{3} } }$.
Так как $\frac{ \alpha}{ \beta } = \frac{2GmMc}{Lr^{2}} = 4,23$, то $\frac{T}{T_{0} } = 2$, т.е. искомый период - 2 года.
