Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1278
2016-10-21 
Внутри «чёрного ящика» между клеммами включена схема, состоящая из нескольких одинаковых резисторов. Между клеммами 1 и 2 включена батарейка с ЭДС $\mathcal{E}$ и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, а между клеммами 3 и 4 — идеальный вольтметр с нулевым делением посередине шкалы (см. рисунок). Если включить такой же резистор, как те, что находятся внутри ящика, между клеммами 1 и 3 или между клеммами 2 и 4, то вольтметр покажет напряжение $+U$, а если включить этот резистор между клеммами 1 и 4 или между клеммами 2 и 3, то вольтметр покажет напряжение $-U$. Если резистор не включать, то вольтметр показывает нулевое напряжение. Нарисуйте схему возможных соединений внутри ящика, содержащую минимальное число резисторов, и определите $U$.
Решение:
рис.1
рис.2
Путём простого перебора вариантов легко установить, что минимально возможное число резисторов внутри «чёрного ящика» — четыре, и возможны две схемы их соединения.
1. Мостовая схема (рисунок 1). Рассмотрим, например, случай, когда дополнительный резистор включён между клеммами 2 и 4. При этом между точками 3 и 1 падение напряжения равно $\mathcal{E}/2$, а между точками 4 и 1, очевидно, $2 \mathcal{E}/3$. Поэтому между клеммами 4 и 3 напряжение равно
$U = \frac{2 \mathcal{E}}{3} - \frac{ \mathcal{E}}{2} = \frac{ \mathcal{E}}{6}$.
Остальные случаи подключения дополнительного резистора рассматриваются аналогично.
2. Схема с общей точкой посередине (рисунок 2). Включим дополнительный резистор $R_{5} = R$, между точками 2 и 4, как и на первой схеме. В данном случае через резистор $R_{3}$ и идеальный вольтметр, обладающий бесконечно большим сопротивлением, ток не течёт. Поэтому общее сопротивление цепи, состоящей из резистора $R_{1} = R$ и подключенной к нему последовательно разветвленной части цепи, состоящей из резистора $R_{2} = R$ и соединённого с ним параллельно сопротивления $R_{4} + R_{5} = 2R$, равно
$R_{x} = R + \left ( \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} \right )^{-1} = R + \frac{2R}{3} = \frac{5R}{3}$.
Поэтому ток, текущий через резистор $R_{1}$, будет равен
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E}}{R_{x}} = \frac{3 \mathcal{E}}{5R}$,
а ток, текущий через резисторы $R_{4}$ и $R_{5}$ — втрое меньше:
$I_{4} = I_{5} = \frac{I_{1}}{3} = \frac{ \mathcal{E}}{5R}$.
Вольтметр показывает падение напряжения на резисторе $R_{4} = R$, равное $U = I_{4}R = \frac{ \mathcal{E}}{5}$. Остальные случаи подключения дополнительного резистора рассматриваются аналогично.
Внутри «чёрного ящика» между клеммами включена схема, состоящая из нескольких одинаковых резисторов. Между клеммами 1 и 2 включена батарейка с ЭДС $\mathcal{E}$ и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, а между клеммами 3 и 4 — идеальный вольтметр с нулевым делением посередине шкалы (см. рисунок). Если включить такой же резистор, как те, что находятся внутри ящика, между клеммами 1 и 3 или между клеммами 2 и 4, то вольтметр покажет напряжение $+U$, а если включить этот резистор между клеммами 1 и 4 или между клеммами 2 и 3, то вольтметр покажет напряжение $-U$. Если резистор не включать, то вольтметр показывает нулевое напряжение. Нарисуйте схему возможных соединений внутри ящика, содержащую минимальное число резисторов, и определите $U$.
Решение:
рис.1
рис.2
Путём простого перебора вариантов легко установить, что минимально возможное число резисторов внутри «чёрного ящика» — четыре, и возможны две схемы их соединения.
1. Мостовая схема (рисунок 1). Рассмотрим, например, случай, когда дополнительный резистор включён между клеммами 2 и 4. При этом между точками 3 и 1 падение напряжения равно $\mathcal{E}/2$, а между точками 4 и 1, очевидно, $2 \mathcal{E}/3$. Поэтому между клеммами 4 и 3 напряжение равно
$U = \frac{2 \mathcal{E}}{3} - \frac{ \mathcal{E}}{2} = \frac{ \mathcal{E}}{6}$.
Остальные случаи подключения дополнительного резистора рассматриваются аналогично.
2. Схема с общей точкой посередине (рисунок 2). Включим дополнительный резистор $R_{5} = R$, между точками 2 и 4, как и на первой схеме. В данном случае через резистор $R_{3}$ и идеальный вольтметр, обладающий бесконечно большим сопротивлением, ток не течёт. Поэтому общее сопротивление цепи, состоящей из резистора $R_{1} = R$ и подключенной к нему последовательно разветвленной части цепи, состоящей из резистора $R_{2} = R$ и соединённого с ним параллельно сопротивления $R_{4} + R_{5} = 2R$, равно
$R_{x} = R + \left ( \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} \right )^{-1} = R + \frac{2R}{3} = \frac{5R}{3}$.
Поэтому ток, текущий через резистор $R_{1}$, будет равен
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E}}{R_{x}} = \frac{3 \mathcal{E}}{5R}$,
а ток, текущий через резисторы $R_{4}$ и $R_{5}$ — втрое меньше:
$I_{4} = I_{5} = \frac{I_{1}}{3} = \frac{ \mathcal{E}}{5R}$.
Вольтметр показывает падение напряжения на резисторе $R_{4} = R$, равное $U = I_{4}R = \frac{ \mathcal{E}}{5}$. Остальные случаи подключения дополнительного резистора рассматриваются аналогично.
