Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12769
2020-01-17 
От катушки с проводом из сплава с высоким удельный сопротивлением отрезки два куска, длины которых 1 м и 3 м. Провода эти соединили параллельно и подключили к источнику питания. От левого конца одного из проводов и от правого конца другого отмерили по 0,2 м и получившиеся точки соединили куском такого же провода (длина этого куска неизвестна). Найдите отношение токов в длинных частях первых двух проводов. При какой длине провода-соединителя в нем будет рассеиваться максимальная мощность?
Решение:
Обозначим сопротивление куска провода длиной 0,2 м буквой $r$, тогда кусок провода длиной 0,8 м имеет сопротивление $4r$, а длиной 2,8 м - $14r$ (рис.). Пусть сопротивление соединяющего куска провода (диагональ "мостика") $x$, напряжение батареи $\mathcal{E}$. Если формулировка задачи верна, то отношение токов не должно зависеть от сопротивления $x$, а в этом случае можно этот кусок вообще не подключать ($x = \infty$) - отношение токов легко при этом найти:
$I_{2} : I_{1} = 1:3$.
Разумеется, это не решение задачи - но все же хорошая подсказка. А теперь - собственно решение.
Пусть потенциал точки В равен нулю, тогда
$\phi_{D} = \mathcal{E}, \phi_{C} = 14rI_{2}, \phi_{A} = \mathcal{E} - 4rI_{1}$.
Выразим токи в цепи через эти величины и запишем соотношение
$I_{DA} + I_{DC} = I_{AB} + I_{CB}$,
или
$I_{1} + \frac{ \mathcal{E} - 14rI_{2} }{r} = \frac{ \mathcal{E} - 4rI_{1} }{r} + I_{2}$.
Отсюда сразу получаем
$5I_{1} = 15I_{2} , I_{1} = 3I_{2}$.
Итак, ответ действительно не зависит от $x$.
Вторая часть решения чуть сложнее. Составим уравнения для напряжений (рис.):
$r(I + I_{x}) + 14rI = \mathcal{E}$.
$r(I + I_{X}) + xI_{x} = 4r \cdot 3I$.
Исключая из них величину $I$, получим
$I_{x} = \frac{ \frac{11}{15} \mathcal{E} }{ x + \frac{36}{15} r }$.
Это соответствует току в цепи с батарейкой, ЭДС которой $\mathcal{E}_{x} = \frac{11}{15} \mathcal{E}$, а внутреннее сопротивление $r_{2} = \frac{26}{15}r$. Известно, что максимальная полезная мощность в такой цепи будет при нагрузке $x = r_{x}$, т.е. $x = \frac{26}{15}r$. А это соответствует длине провода-соединителя
$I_{x} = \frac{26}{15} 0,2 м = 0,35 м$.
От катушки с проводом из сплава с высоким удельный сопротивлением отрезки два куска, длины которых 1 м и 3 м. Провода эти соединили параллельно и подключили к источнику питания. От левого конца одного из проводов и от правого конца другого отмерили по 0,2 м и получившиеся точки соединили куском такого же провода (длина этого куска неизвестна). Найдите отношение токов в длинных частях первых двух проводов. При какой длине провода-соединителя в нем будет рассеиваться максимальная мощность?
Решение:
Обозначим сопротивление куска провода длиной 0,2 м буквой $r$, тогда кусок провода длиной 0,8 м имеет сопротивление $4r$, а длиной 2,8 м - $14r$ (рис.). Пусть сопротивление соединяющего куска провода (диагональ "мостика") $x$, напряжение батареи $\mathcal{E}$. Если формулировка задачи верна, то отношение токов не должно зависеть от сопротивления $x$, а в этом случае можно этот кусок вообще не подключать ($x = \infty$) - отношение токов легко при этом найти:
$I_{2} : I_{1} = 1:3$.
Разумеется, это не решение задачи - но все же хорошая подсказка. А теперь - собственно решение.
Пусть потенциал точки В равен нулю, тогда
$\phi_{D} = \mathcal{E}, \phi_{C} = 14rI_{2}, \phi_{A} = \mathcal{E} - 4rI_{1}$.
Выразим токи в цепи через эти величины и запишем соотношение
$I_{DA} + I_{DC} = I_{AB} + I_{CB}$,
или
$I_{1} + \frac{ \mathcal{E} - 14rI_{2} }{r} = \frac{ \mathcal{E} - 4rI_{1} }{r} + I_{2}$.
Отсюда сразу получаем
$5I_{1} = 15I_{2} , I_{1} = 3I_{2}$.
Итак, ответ действительно не зависит от $x$.
Вторая часть решения чуть сложнее. Составим уравнения для напряжений (рис.):
$r(I + I_{x}) + 14rI = \mathcal{E}$.
$r(I + I_{X}) + xI_{x} = 4r \cdot 3I$.
Исключая из них величину $I$, получим
$I_{x} = \frac{ \frac{11}{15} \mathcal{E} }{ x + \frac{36}{15} r }$.
Это соответствует току в цепи с батарейкой, ЭДС которой $\mathcal{E}_{x} = \frac{11}{15} \mathcal{E}$, а внутреннее сопротивление $r_{2} = \frac{26}{15}r$. Известно, что максимальная полезная мощность в такой цепи будет при нагрузке $x = r_{x}$, т.е. $x = \frac{26}{15}r$. А это соответствует длине провода-соединителя
$I_{x} = \frac{26}{15} 0,2 м = 0,35 м$.
