ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-01-17   
В схеме, изображенной на рисунке напряжение батарейки равно $\mathcal{E}$, а конденсатор заряжен до напряжения $U = 2 \mathcal{E}$. После того как ток в катушке практически перестал изменяться, ключ замкнули. Через какое время после этого заряд конденсатора изменится на 1%? Во сколько раз за это время изменится ток через катушку? Сопротивления резисторов $R = 100 Ом$, емкость конденсатора $C = 10 мкф$, индуктивность катушки $L= 1 Гн$.



Решение:


Установившийся ток через катушку равен

$I_{0} = \frac{ \mathcal{E} }{R}$.


При подключении конденсатора этот ток сразу не изменится. Найдем токи через верхний резистор (рис.) -

$I_{1} = \frac{2 \mathcal{E} - \mathcal{E} }{R} = \frac{ \mathcal{E} }{R}$

и через нижний -

$I_{2} = \frac{2 \mathcal{E} }{R}$.

Тогда ток через конденсатор составит

$I_{C} = I_{0} + I_{1} + I_{2} = \frac{4 \mathcal{E} }{R}$.

Изменение заряда на 1% мало меняет эти токи. Будем считать их неизменными и найдем время $\tau$, за которое произойдет изменение заряда конденсатора:

$\Delta q = 0,01q = 0,01 \cdot 2 \mathcal{E}C = I_{C} \tau = \frac{4 \mathcal{E} \tau }{R}$,

откуда

$\tau = 0,005 RC = 5 \cdot 10^{-5} с$.

Сравним теперь это время с периодом колебаний $LC$-контура:

$T_{LC} = 2 \pi \sqrt{LC} \approx 2 \cdot 10^{-2} с \gg \tau = 5 \cdot 10^{-6} с$.

Видно, что и ток через катушку изменится на небольшую часть:

$\Delta I = \frac{ \mathcal{E}_{инд} \tau }{L} = \frac{2 \mathcal{E} \cdot 0,0005RC }{L} = I_{0} \cdot 0,01 \frac{R^{2}C }{L}$,
$\frac{ \Delta I}{I_{0} } = 0,01 \frac{R^{2}C }{L} = 0,001$.

Это и в самом деле очень немного.