Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1276
2016-10-21 
У «чёрного ящика» есть три клеммы. Если на клеммы А и В подают напряжение 20 В, то с клемм В ж С снимают напряжение 8 В. Если на клеммы В и С подают напряжение 20 В, то с клемм А ж С снимают напряжение 15 В. Изобразите схему «чёрного ящика», считая, что внутри него находятся только резисторы.
Решение:
рис.1
рис.2
Ясно, что между каждой парой клемм «чёрного ящика» должны быть включены резисторы — в противном случае невозможно будет снимать ненулевое напряжение либо с клемм ВС, либо с клемм АС. Простейшие схемы подключения этих резисторов («треугольник» и «звезда») изображены на рисунках 1 и 2.
Вначале рассмотрим первую схему и найдём, чему должны быть равны сопротивления $R_{0}, R_{1}$ и $R_{2}$. Обозначим подаваемое на клеммы напряжение через $V = 20 В$, а снимаемое с соответствующих пар клемм напряжение через $U_{ВС} = 8 В$ и $U_{АС} = 15 В$. Тогда можно записать:
$U_{ВС} = \frac{VR_{1}}{R_{1}+R_{2}}, U_{АС} = \frac{VR_{2}}{R_{0}+R_{2}}$.
Отсюда
$R_{2} = \frac{U_{АС}}{V-U_{АС}} R_{0} = 3R_{0}, R_{1} = \frac{U_{ВС}}{V-U_{ВС}} R_{2} = 2R_{0}$.
Теперь найдём, чему должны быть равны сопротивления $r_{0}, r_{1}$ и $r_{2}$ во второй схеме, используя те же обозначения для напряжений, что и первом случае. Поскольку во второй схеме при подаче напряжения $V$ на клеммы АВ ток не течёт через резистор $r_{2}$ и напряжение на нём не падает, а при подаче напряжения $V$ на клеммы ВС ток не течёт через резистор $r_{0}$ и на нём также отсутствует падение напряжения, то
$U_{ВС} = U_{ОВ} = \frac{Vr_{1}}{r_{0}+r_{1}}, U_{АС} = U_{ОС} = \frac{Vr_{2}}{r_{1}+r_{2}}$.
Отсюда
$r_{1} = \frac{U_{ВС}}{V-U_{ВС}} r_{0} = \frac{2}{3} r_{0}, r_{2} = \frac{U_{АС}}{V-U_{АС}} r_{1} = 2 r_{0}$.
Таким образом, «чёрный ящик» в простейших случаях должен состоять из трёх резисторов с сопротивлениями $R_{0}, R_{1} = 2R_{0}$ и $R_{2} = 3R_{0}$, соединённых «треугольником» — так, как показано на рисунке 1, или из трёх резисторов с сопротивлениями $r_{0}, r_{1} = \frac{2}{3} r_{0}$ и $r_{2} = 2r_{0}$, соединённых «звездой», как показано на рисунке 2. Величины сопротивлений $R_{0}$ и $r_{0}$ могут быть любыми, отличными от нуля.
У «чёрного ящика» есть три клеммы. Если на клеммы А и В подают напряжение 20 В, то с клемм В ж С снимают напряжение 8 В. Если на клеммы В и С подают напряжение 20 В, то с клемм А ж С снимают напряжение 15 В. Изобразите схему «чёрного ящика», считая, что внутри него находятся только резисторы.
Решение:
рис.1
рис.2
Ясно, что между каждой парой клемм «чёрного ящика» должны быть включены резисторы — в противном случае невозможно будет снимать ненулевое напряжение либо с клемм ВС, либо с клемм АС. Простейшие схемы подключения этих резисторов («треугольник» и «звезда») изображены на рисунках 1 и 2.
Вначале рассмотрим первую схему и найдём, чему должны быть равны сопротивления $R_{0}, R_{1}$ и $R_{2}$. Обозначим подаваемое на клеммы напряжение через $V = 20 В$, а снимаемое с соответствующих пар клемм напряжение через $U_{ВС} = 8 В$ и $U_{АС} = 15 В$. Тогда можно записать:
$U_{ВС} = \frac{VR_{1}}{R_{1}+R_{2}}, U_{АС} = \frac{VR_{2}}{R_{0}+R_{2}}$.
Отсюда
$R_{2} = \frac{U_{АС}}{V-U_{АС}} R_{0} = 3R_{0}, R_{1} = \frac{U_{ВС}}{V-U_{ВС}} R_{2} = 2R_{0}$.
Теперь найдём, чему должны быть равны сопротивления $r_{0}, r_{1}$ и $r_{2}$ во второй схеме, используя те же обозначения для напряжений, что и первом случае. Поскольку во второй схеме при подаче напряжения $V$ на клеммы АВ ток не течёт через резистор $r_{2}$ и напряжение на нём не падает, а при подаче напряжения $V$ на клеммы ВС ток не течёт через резистор $r_{0}$ и на нём также отсутствует падение напряжения, то
$U_{ВС} = U_{ОВ} = \frac{Vr_{1}}{r_{0}+r_{1}}, U_{АС} = U_{ОС} = \frac{Vr_{2}}{r_{1}+r_{2}}$.
Отсюда
$r_{1} = \frac{U_{ВС}}{V-U_{ВС}} r_{0} = \frac{2}{3} r_{0}, r_{2} = \frac{U_{АС}}{V-U_{АС}} r_{1} = 2 r_{0}$.
Таким образом, «чёрный ящик» в простейших случаях должен состоять из трёх резисторов с сопротивлениями $R_{0}, R_{1} = 2R_{0}$ и $R_{2} = 3R_{0}$, соединённых «треугольником» — так, как показано на рисунке 1, или из трёх резисторов с сопротивлениями $r_{0}, r_{1} = \frac{2}{3} r_{0}$ и $r_{2} = 2r_{0}$, соединённых «звездой», как показано на рисунке 2. Величины сопротивлений $R_{0}$ и $r_{0}$ могут быть любыми, отличными от нуля.
