Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12755
2020-01-17 
Математический маятник совершает колебания с очень малой угловой амплитудой $\alpha_{0}$ в вертикальной плоскости. Скорость грузика в нижней точке составляет $v_{0}$. В тот момент, когда грузик достигает крайней точки, ему толчком сообщают скорость $v_{0}$ в направлении, перпендикулярном плоскости его прежних колебаний. По какой траектории будет в дальнейшем двигаться грузик? Через какое время он снова окажется в точке удара?
Решение:
При тех условиях, которые заданы в задаче, грузик будет двигаться по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. Докажем это.
Для такого движения со скоростью $v$ можно записать (см. рисунок)
$\frac{mv^{2} }{r} = T \sin \alpha_{0}, r = L \sin \alpha_{0}, T \cos \alpha_{0} = mg$.
Отсюда, приняв $\sin \alpha_{0} \approx tg \alpha_{0} = \alpha_{0}$, получим
$v{2} = gL \alpha_{0}^{2}$.
При отпускании грузика из крайнего положения без начальной скорости он совершает колебания в вертикальной плоскости. При этом выполняются соотношения
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = mgL( 1 - \cos \alpha_{0}), \cos \alpha_{0} = 1 - 2 \sin^{2} \frac{ \alpha_{0} }{2} = 1 - \frac{ \alpha_{0}^{2} }{2}$,
откуда
$v_{0}^{2} = gL \alpha_{0}^{2} = v^{2}$.
Что и нужно было доказать.
Теперь найдем время обращения грузика по окружности:
$T = \frac{2 \pi r}{v_{0} } = \frac{2 \pi v_{0} }{g \alpha_{0} }$.
Математический маятник совершает колебания с очень малой угловой амплитудой $\alpha_{0}$ в вертикальной плоскости. Скорость грузика в нижней точке составляет $v_{0}$. В тот момент, когда грузик достигает крайней точки, ему толчком сообщают скорость $v_{0}$ в направлении, перпендикулярном плоскости его прежних колебаний. По какой траектории будет в дальнейшем двигаться грузик? Через какое время он снова окажется в точке удара?
Решение:
При тех условиях, которые заданы в задаче, грузик будет двигаться по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. Докажем это.
Для такого движения со скоростью $v$ можно записать (см. рисунок)
$\frac{mv^{2} }{r} = T \sin \alpha_{0}, r = L \sin \alpha_{0}, T \cos \alpha_{0} = mg$.
Отсюда, приняв $\sin \alpha_{0} \approx tg \alpha_{0} = \alpha_{0}$, получим
$v{2} = gL \alpha_{0}^{2}$.
При отпускании грузика из крайнего положения без начальной скорости он совершает колебания в вертикальной плоскости. При этом выполняются соотношения
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = mgL( 1 - \cos \alpha_{0}), \cos \alpha_{0} = 1 - 2 \sin^{2} \frac{ \alpha_{0} }{2} = 1 - \frac{ \alpha_{0}^{2} }{2}$,
откуда
$v_{0}^{2} = gL \alpha_{0}^{2} = v^{2}$.
Что и нужно было доказать.
Теперь найдем время обращения грузика по окружности:
$T = \frac{2 \pi r}{v_{0} } = \frac{2 \pi v_{0} }{g \alpha_{0} }$.
