Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12750
2020-01-17 
На тонкой непроводящей направляющей в форме окружности радиусом $R$ может скользить без трения маленькая заряженная бусинка. Заряд $Q$ расположен в плоскости поправляющей на расстоянии $r$ от центра окружности. Куда нужно поместить второй заряд и какой он должен быть величины, чтобы бусинка могли скользить по окружности с постоянной по модулю скоростью? Сила тяжести отсутствует.
Решение:
Те, кто знакомы с методом изображений в электростатике, уже, наверное, узнали эту задачу. В самом деле - чтобы скорость заряда не менялась, потенциал на окружности должен быть постоянным, значит, нужно подобрать систему из двух зарядов, обеспечивающую это условие. Ясно также, что второй заряд должен располагаться вне окружности и быть противоположного знака. Итак,
$\frac{q_{1} }{a_{1} } + \frac{q_{2} }{a_{2} } = const$,
где $a_{1}$ и $a_{2}$ - расстояния от некоторой точки окружности до зарядов. Попробуем обойтись нулевым значением константы в правой части равенства - вычисления при этом явно будут проще. А если не выйдет - будем думать дальше.
Пусть неизвестный заряд $q$ мы поместили на расстоянии $a$ от центра окружности, заряд $Q$ находится на расстоянии $r$ от него и А - произвольная точка окружности с координатами $x$ и $y$: $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ (см рисунок). Тогда можно записать
$\frac{Q}{ \sqrt{(x-r)^{2} + y^{2} } } + \frac{q}{ \sqrt{(a -x )^{2} + y^{2} } } = 0$.
Отсюда получаем
$\frac{(a - x)^{2} + y^{2}}{q^{2} } = \frac{ (x - r)^{2} + y^{2} }{Q^{2} }$,
или
$\frac{a^{2} - 2ax + x^{2} + y^{2} }{q^{2} } = \frac{r^{2} - 2rx + x^{2} + y^{2} }{Q^{2} }$.
Заменяя $x^{2} + y^{2} = R^{2}$, перепишем равенство в виде
$\frac{a^{2} + R^{2} }{q^{2} } - \frac{r^{2} + R^{2} }{Q^{2} } = 2x \left ( \frac{a}{q^{2} } - \frac{r}{Q^{2} } \right )$.
это равенство будет выполняться при любых $x$ (на окружности), если
$\frac{a}{q^{2} } - \frac{r}{Q^{2} } = 0$,
или
$a = r \frac{q^{2} }{Q^{2} }$.
Но тогда и слева получится ноль, т.е.
$\frac{a^{2} + R^{2}}{q^{2} } = \frac{r^{2} + R^{2}}{Q^{2} }$,
или
$q = - Q \frac{R}{r}$.
Окончательно находим
$a = \frac{R^{2} }{r}$ и $q = - Q \frac{R}{r}$.
Нам удалось подобрать и расположить заряды так, чтобы потенциалы всех точек этой окружности оказались равными (нулевыми). Ясно, что это справедливо и для сферы радиусом $R$ с центром в той же точке. Этот факт широко используется в электростатике.
На тонкой непроводящей направляющей в форме окружности радиусом $R$ может скользить без трения маленькая заряженная бусинка. Заряд $Q$ расположен в плоскости поправляющей на расстоянии $r$ от центра окружности. Куда нужно поместить второй заряд и какой он должен быть величины, чтобы бусинка могли скользить по окружности с постоянной по модулю скоростью? Сила тяжести отсутствует.
Решение:
Те, кто знакомы с методом изображений в электростатике, уже, наверное, узнали эту задачу. В самом деле - чтобы скорость заряда не менялась, потенциал на окружности должен быть постоянным, значит, нужно подобрать систему из двух зарядов, обеспечивающую это условие. Ясно также, что второй заряд должен располагаться вне окружности и быть противоположного знака. Итак,
$\frac{q_{1} }{a_{1} } + \frac{q_{2} }{a_{2} } = const$,
где $a_{1}$ и $a_{2}$ - расстояния от некоторой точки окружности до зарядов. Попробуем обойтись нулевым значением константы в правой части равенства - вычисления при этом явно будут проще. А если не выйдет - будем думать дальше.
Пусть неизвестный заряд $q$ мы поместили на расстоянии $a$ от центра окружности, заряд $Q$ находится на расстоянии $r$ от него и А - произвольная точка окружности с координатами $x$ и $y$: $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ (см рисунок). Тогда можно записать
$\frac{Q}{ \sqrt{(x-r)^{2} + y^{2} } } + \frac{q}{ \sqrt{(a -x )^{2} + y^{2} } } = 0$.
Отсюда получаем
$\frac{(a - x)^{2} + y^{2}}{q^{2} } = \frac{ (x - r)^{2} + y^{2} }{Q^{2} }$,
или
$\frac{a^{2} - 2ax + x^{2} + y^{2} }{q^{2} } = \frac{r^{2} - 2rx + x^{2} + y^{2} }{Q^{2} }$.
Заменяя $x^{2} + y^{2} = R^{2}$, перепишем равенство в виде
$\frac{a^{2} + R^{2} }{q^{2} } - \frac{r^{2} + R^{2} }{Q^{2} } = 2x \left ( \frac{a}{q^{2} } - \frac{r}{Q^{2} } \right )$.
это равенство будет выполняться при любых $x$ (на окружности), если
$\frac{a}{q^{2} } - \frac{r}{Q^{2} } = 0$,
или
$a = r \frac{q^{2} }{Q^{2} }$.
Но тогда и слева получится ноль, т.е.
$\frac{a^{2} + R^{2}}{q^{2} } = \frac{r^{2} + R^{2}}{Q^{2} }$,
или
$q = - Q \frac{R}{r}$.
Окончательно находим
$a = \frac{R^{2} }{r}$ и $q = - Q \frac{R}{r}$.
Нам удалось подобрать и расположить заряды так, чтобы потенциалы всех точек этой окружности оказались равными (нулевыми). Ясно, что это справедливо и для сферы радиусом $R$ с центром в той же точке. Этот факт широко используется в электростатике.
