Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12748
2020-01-17 
В длинной трубе, заполненной азотом, находится легкий подвижный поршень. В начальный момент поршень закреплен, температуры газа слева и справа одинаковы и равны $T_{1} = T_{2} = 300 К$, давления составляют $p_{1} = 1,1 атм$ и $p_{2} = 1,0 атм$. Поршень отпускают. Найдите его установившуюся скорость. Стенки трубы и поршень теплонепроницаемы, газ идеальный.
Решение:
После установления процесса в обе стороны от перегородки двигаются два возмущения со скоростью $c$, а газ между ними и перегородка двигаются со скоростью и (см. рисунок).
Рассмотрим газ справа от перегородки. Если $p,T$ и $p$ - давление, температура и плотность невозмущенного газа, $p + \Delta p, T + \Delta T$ и $\rho + \Delta \rho$ - то же для газа за возмущением, то из закона сохранения массы
$u( \rho + \Delta \rho) = c \rho$
и импульса
$\Delta p = \rho cu$
с учетом $\Delta \rho \ll \rho$ (как обычно при выводе формулы скорости звука) получим
$c^{2} = \frac{ \Delta p}{ \Delta \rho}$.
Эту же величину можно вычислить с помощью закона сохранения энергии (тепло не отводится)
$p \Delta V = - C_{V} \nu \Delta T$
($C_{V}$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме) и уравнения состояния идеального газа
$pV = \nu RT$,
или
$p \Delta V + V \Delta p = \nu R \Delta T$.
Получим
$c^{2} = \frac{ \Delta p}{ \Delta \rho} = \frac{C_{V} + R }{C_{V} } \frac{RT}{M} = \frac{C_{p} }{C_{V} } \frac{RT}{M} = \gamma \frac{RT}{M}$.
Отсюда и из закона сохранения импульса имеем
$u = \frac{ \Delta p}{ \rho c} = \frac{ \Delta p RT}{ \rho Mc}$.
Аналогичное рассуждение применимо для газа слева от поршня, откуда следует, что
$\Delta p = \frac{p_{1} - p_{2} }{2}$,
$u = \frac{p_{1} - p_{2} }{2p_{2} } \sqrt{ \frac{RT_{2} }{ \gamma M} }$.
Для азота (двухатомного газа) $\gamma = 7/5$ и $M = 28 г/моль$, поэтому окончательного
$u \approx 13 м/с$.
В длинной трубе, заполненной азотом, находится легкий подвижный поршень. В начальный момент поршень закреплен, температуры газа слева и справа одинаковы и равны $T_{1} = T_{2} = 300 К$, давления составляют $p_{1} = 1,1 атм$ и $p_{2} = 1,0 атм$. Поршень отпускают. Найдите его установившуюся скорость. Стенки трубы и поршень теплонепроницаемы, газ идеальный.
Решение:
После установления процесса в обе стороны от перегородки двигаются два возмущения со скоростью $c$, а газ между ними и перегородка двигаются со скоростью и (см. рисунок).
Рассмотрим газ справа от перегородки. Если $p,T$ и $p$ - давление, температура и плотность невозмущенного газа, $p + \Delta p, T + \Delta T$ и $\rho + \Delta \rho$ - то же для газа за возмущением, то из закона сохранения массы
$u( \rho + \Delta \rho) = c \rho$
и импульса
$\Delta p = \rho cu$
с учетом $\Delta \rho \ll \rho$ (как обычно при выводе формулы скорости звука) получим
$c^{2} = \frac{ \Delta p}{ \Delta \rho}$.
Эту же величину можно вычислить с помощью закона сохранения энергии (тепло не отводится)
$p \Delta V = - C_{V} \nu \Delta T$
($C_{V}$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме) и уравнения состояния идеального газа
$pV = \nu RT$,
или
$p \Delta V + V \Delta p = \nu R \Delta T$.
Получим
$c^{2} = \frac{ \Delta p}{ \Delta \rho} = \frac{C_{V} + R }{C_{V} } \frac{RT}{M} = \frac{C_{p} }{C_{V} } \frac{RT}{M} = \gamma \frac{RT}{M}$.
Отсюда и из закона сохранения импульса имеем
$u = \frac{ \Delta p}{ \rho c} = \frac{ \Delta p RT}{ \rho Mc}$.
Аналогичное рассуждение применимо для газа слева от поршня, откуда следует, что
$\Delta p = \frac{p_{1} - p_{2} }{2}$,
$u = \frac{p_{1} - p_{2} }{2p_{2} } \sqrt{ \frac{RT_{2} }{ \gamma M} }$.
Для азота (двухатомного газа) $\gamma = 7/5$ и $M = 28 г/моль$, поэтому окончательного
$u \approx 13 м/с$.
