Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12737
2020-01-17 
Две большие горизонтальные пластины расположены одна над другой на расстоянии $d$. Каждая пластина поддерживается при определенной температуре (температура нижней пластины выше). Оцените разность температур пластин, при которой в системе возникнет конвекция. Воздух считайте идеальным газом, теплообменом между соседними порциями воздуха при конвекции можно пренебречь.
Решение:
Конвекция в системе возникает в результате самопроизвольного поднятия теплого воздуха из нижних слоев и опускания холодного воздуха из верхних слоев. Найдем условия возникновения такого процесса.
Рассмотрим два близко расположенных горизонтальных слоя воздуха. Часть более холодного воздуха, самопроизвольно опустившегося из верхнего слоя в нижний, будет опускаться дальше, если его плотность окажется больше, чем плотность окружающего воздуха. В процессе опускания воздуха сила тяжести совершает над ним положительную работу, поэтому внутренняя энергия и температура воздуха увеличиваются, а его плотность уменьшается. Учитывая, что плотность $\rho$ и температура $T$ идеального газа связаны соотношением $\rho = \frac{pM}{RT}$, а давление газа $p$ в системе постоянно (мы пренебрегаем изменением давления с высотой), найдем что конвекция начнется, если изменение температуры воздуха при его опускании из верхнего слоя в нижний окажется меньше, чем разность температур между этими слоями.
Рассчитаем изменение температуры $\Delta T$ воздуха массой $\Delta m$ при его адиабатическом (без теплообмена с окружающей средой) опускании на небольшую высоту $h$. Сила тяжести совершает над опускающимся воздухом работу
$A_{1} = \Delta m gh$.
Эта работа расходуется на увеличение внутренней энергии газа
$\Delta U = \frac{ \Delta m}{M} C_{V} \Delta T$,
где $C_{V}$ - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, и на совершение газом работы против внешнего давления
$A_{2} = p \Delta V = \frac{ \Delta m}{M} R \Delta T$.
Таким образом,
$A_{1} = \Delta U + A_{2}$,
или
$\Delta mgh = \frac{ \Delta m}{M} (C_{V} + R ) \Delta T$.
Откуда
$\Delta T = \frac{Mgh}{C_{p} }$,
где $C_{p} = C_{V} + R$ - молярная теплоемкость газа при постоянном давлении.
В нашем случае конвекция возникнет при разности температур пластин
$T_{1} - T_{2} > \frac{Mgd}{C_{p} }$.
Заметим, что если провести аналогичное рассмотрение для воздуха, поднимающегося вверх, то мы получим тот же самый ответ. Это вполне естественно, поскольку конвекция представляет собой процесс поднятия воздуха в одних областях и опускания в соседних. Для численной опенки величины $T_{1} - T_{2}$ будем считать, что пластины расположены на расстоянии $d = 1 м$, что воздух - идеальный двухатомный газ с молярной массой $M = 0,029 кг/моль$ и теплоемкостью $C_{p} = \frac{7}{2} R$. Тогда получим
$T_{1} - T_{2} \approx 0,01 К$.
В заключение необходимо заметить, что общая задача о возникновении конвекции в поле тяжести решена в книге Л Д Ландау и Е, М.Лифшица "Гидродинамика"
(М.:Наука, 1986), где в качестве примера рассмотрен также случай идеального газа.
Две большие горизонтальные пластины расположены одна над другой на расстоянии $d$. Каждая пластина поддерживается при определенной температуре (температура нижней пластины выше). Оцените разность температур пластин, при которой в системе возникнет конвекция. Воздух считайте идеальным газом, теплообменом между соседними порциями воздуха при конвекции можно пренебречь.
Решение:
Конвекция в системе возникает в результате самопроизвольного поднятия теплого воздуха из нижних слоев и опускания холодного воздуха из верхних слоев. Найдем условия возникновения такого процесса.
Рассмотрим два близко расположенных горизонтальных слоя воздуха. Часть более холодного воздуха, самопроизвольно опустившегося из верхнего слоя в нижний, будет опускаться дальше, если его плотность окажется больше, чем плотность окружающего воздуха. В процессе опускания воздуха сила тяжести совершает над ним положительную работу, поэтому внутренняя энергия и температура воздуха увеличиваются, а его плотность уменьшается. Учитывая, что плотность $\rho$ и температура $T$ идеального газа связаны соотношением $\rho = \frac{pM}{RT}$, а давление газа $p$ в системе постоянно (мы пренебрегаем изменением давления с высотой), найдем что конвекция начнется, если изменение температуры воздуха при его опускании из верхнего слоя в нижний окажется меньше, чем разность температур между этими слоями.
Рассчитаем изменение температуры $\Delta T$ воздуха массой $\Delta m$ при его адиабатическом (без теплообмена с окружающей средой) опускании на небольшую высоту $h$. Сила тяжести совершает над опускающимся воздухом работу
$A_{1} = \Delta m gh$.
Эта работа расходуется на увеличение внутренней энергии газа
$\Delta U = \frac{ \Delta m}{M} C_{V} \Delta T$,
где $C_{V}$ - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, и на совершение газом работы против внешнего давления
$A_{2} = p \Delta V = \frac{ \Delta m}{M} R \Delta T$.
Таким образом,
$A_{1} = \Delta U + A_{2}$,
или
$\Delta mgh = \frac{ \Delta m}{M} (C_{V} + R ) \Delta T$.
Откуда
$\Delta T = \frac{Mgh}{C_{p} }$,
где $C_{p} = C_{V} + R$ - молярная теплоемкость газа при постоянном давлении.
В нашем случае конвекция возникнет при разности температур пластин
$T_{1} - T_{2} > \frac{Mgd}{C_{p} }$.
Заметим, что если провести аналогичное рассмотрение для воздуха, поднимающегося вверх, то мы получим тот же самый ответ. Это вполне естественно, поскольку конвекция представляет собой процесс поднятия воздуха в одних областях и опускания в соседних. Для численной опенки величины $T_{1} - T_{2}$ будем считать, что пластины расположены на расстоянии $d = 1 м$, что воздух - идеальный двухатомный газ с молярной массой $M = 0,029 кг/моль$ и теплоемкостью $C_{p} = \frac{7}{2} R$. Тогда получим
$T_{1} - T_{2} \approx 0,01 К$.
В заключение необходимо заметить, что общая задача о возникновении конвекции в поле тяжести решена в книге Л Д Ландау и Е, М.Лифшица "Гидродинамика"
(М.:Наука, 1986), где в качестве примера рассмотрен также случай идеального газа.
