Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12735
2020-01-17 
Световод в форме усеченною конуса сделан из стекла, его боковая поверхность посеребрена (для хорошего отражения лучей, падающих изнутри). Плоскости оснований конуса перпендикулярны его оси, их диаметры $D$ и $d$, высота конуса $H$ ($H \gg D \gg d$). На большее основание падает световой пучок, параллельный оси. Все ли падающие лучи после многократных отражений выйдут через плоскость меньшего основания?
Решение:
Для построения хода луча при многократных отражениях от плоских поверхностей (в нашем случае отражающая поверхность коническая, но для тех лучей, которые нас интересуют различия нет) хороши подходит известный из геометрических задач "бильярдный" прием: шарик (луч) после столкновения со стенкой (отражающей поверхностью) "проскакивает" на зеркально отраженный стол А и продолжает двигаться по прямой (рис.). В данной задаче достаточно рассмотреть ход "крайнего" луча - после первого отражения он переходит в соседний - "достроенный" конус и т.д. (рис.). Малые диаметры $d$ оказываются сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность некоторого радиуса $R$. Учитывая условие задачи можно считать, что любой луч выйдет через плоскость меньшего основания, если
$\frac{D}{2} < R$.
Теперь немного геометрии:
$R = \frac{d}{ \alpha} = \frac{d}{D - d}H$.
Отсюда
$\frac{D}{2} < \frac{Hd}{D - d}$, или $H > \frac{D(D - d)}{2d} = \frac{D^{2} }{2d}$.
Итак, если $H > \frac{D^{2}}{2d}$, то все лучи нашего пучка выйдут через плоскость меньшего основания.
Световод в форме усеченною конуса сделан из стекла, его боковая поверхность посеребрена (для хорошего отражения лучей, падающих изнутри). Плоскости оснований конуса перпендикулярны его оси, их диаметры $D$ и $d$, высота конуса $H$ ($H \gg D \gg d$). На большее основание падает световой пучок, параллельный оси. Все ли падающие лучи после многократных отражений выйдут через плоскость меньшего основания?
Решение:
Для построения хода луча при многократных отражениях от плоских поверхностей (в нашем случае отражающая поверхность коническая, но для тех лучей, которые нас интересуют различия нет) хороши подходит известный из геометрических задач "бильярдный" прием: шарик (луч) после столкновения со стенкой (отражающей поверхностью) "проскакивает" на зеркально отраженный стол А и продолжает двигаться по прямой (рис.). В данной задаче достаточно рассмотреть ход "крайнего" луча - после первого отражения он переходит в соседний - "достроенный" конус и т.д. (рис.). Малые диаметры $d$ оказываются сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность некоторого радиуса $R$. Учитывая условие задачи можно считать, что любой луч выйдет через плоскость меньшего основания, если
$\frac{D}{2} < R$.
Теперь немного геометрии:
$R = \frac{d}{ \alpha} = \frac{d}{D - d}H$.
Отсюда
$\frac{D}{2} < \frac{Hd}{D - d}$, или $H > \frac{D(D - d)}{2d} = \frac{D^{2} }{2d}$.
Итак, если $H > \frac{D^{2}}{2d}$, то все лучи нашего пучка выйдут через плоскость меньшего основания.
