Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12734
2020-01-17 
Известно, что максимальную мощность источник отдает при условии, что сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника. Генератор синусоидального напряжения имеет внутреннее сопротивление $r$, частота генератора $\omega$, сопротивление нагрузки $R$, причем $R \gg r$. Обычно в таких случаях применяют согласующий трансформатор, однако в нашем случае для согласования можно использовать простую схему, содержащую катушку и конденсатор. Предложите такую схему и рассчитайте величины $L$ и $C$, при которых мощность, выселяющаяся в виде тепла в нагрузке, будет максимальной.
Решение:
Для согласования источника с нагрузкой воспользуемся явлением резонанса. Рассмотрим схему, изображенную на рисунке. Здесь выделен резистор $r$ - он соответствует
внутреннему сопротивлению источника переменного напряжения.
Для оптимальной передачи мощности в нагрузку вся цепь справа от АБ должна на рабочей частоте иметь чисто активное сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника $r$. Учитывая, что $r \ll R$ (по условию), можно сделать вывод: токи через катушку и конденсатор во много раз превышают ток через резистор $R$. Это существенно упростит расчет.
Колебательный контур представляет чисто активное сопротивление на частоте резонанса. В нашем случае, поскольку потерн в контуре малы, эту частоту можно записать в виде
$\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$,
или
$LC = \frac{1}{ \omega^{2} } $.
Нужно получить еще одно соотношение между $L$ и $C$. Для этого нарисуем векторную диаграмму (рис.). Начнем рисовать с вектора $U_{R}$ - напряжения на параллельно соединенных конденсаторе и резисторе. Теперь изобразим ток конденсатора, равный,
$I_{C} = \frac{U_{R} }{X_{C} } = U_{R} \omega C$,
ток через резистор $R$, равный
$I_{R} = \frac{U_{R} }{R}$,
и полный ток - он протекает через катушку (и источник) и равен
$I_{общ} = \sqrt{I_{C}^{2} + I_{R}^{2} } = U_{R} \sqrt{ \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2}C^{2}}$.
Напряжение на катушке при этом равно
$U_{L} = X_{L} I_{общ} = U_{R} \omega L \sqrt{ \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2} C^{2} }$.
Если на диаграмме разложить вектор, изображающий $U_{L}$, на две составляющие - вдоль $U_{R}$ и перпендикулярно ему, то сразу видно, что полное напряжение между точками А и Б равно его перпендикулярной составляющей:
$U = U_{L} \sin \alpha = U_{R} \omega L \sqrt{ \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2}C^{2} } \frac{ \frac{U_{R} }{R} }{ \sqrt{U_{R}^{2} \left ( \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2}C^{2} \right ) } } = \frac{U_{R} \omega L }{R}$.
И наконец, соотношение между полным напряжение и общим током:
$\frac{U}{I_{общ} } = \frac{U_{R} \omega L }{RU_{R} \sqrt{ \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2}C^{2} } } = \frac{ \omega L }{ \sqrt{1 + \omega^{2}C^{2}R^{2} } } = \frac{L}{RC} = r$,
или
$\frac{L}{C} = Rr$. (2)
Из соотношений (1) и (2) получаются выражения для $L$ и $C$:
$L = \frac{ \sqrt{Rr} }{ \omega}, C = \frac{1}{ \omega \sqrt{Rr} }$.
Заметим, что эту задачу можно решить "в лоб" без использования свойств контура на резонансной частоте - методом "комплексных амплитуд".
Известно, что максимальную мощность источник отдает при условии, что сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника. Генератор синусоидального напряжения имеет внутреннее сопротивление $r$, частота генератора $\omega$, сопротивление нагрузки $R$, причем $R \gg r$. Обычно в таких случаях применяют согласующий трансформатор, однако в нашем случае для согласования можно использовать простую схему, содержащую катушку и конденсатор. Предложите такую схему и рассчитайте величины $L$ и $C$, при которых мощность, выселяющаяся в виде тепла в нагрузке, будет максимальной.
Решение:
Для согласования источника с нагрузкой воспользуемся явлением резонанса. Рассмотрим схему, изображенную на рисунке. Здесь выделен резистор $r$ - он соответствует
внутреннему сопротивлению источника переменного напряжения.
Для оптимальной передачи мощности в нагрузку вся цепь справа от АБ должна на рабочей частоте иметь чисто активное сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника $r$. Учитывая, что $r \ll R$ (по условию), можно сделать вывод: токи через катушку и конденсатор во много раз превышают ток через резистор $R$. Это существенно упростит расчет.
Колебательный контур представляет чисто активное сопротивление на частоте резонанса. В нашем случае, поскольку потерн в контуре малы, эту частоту можно записать в виде
$\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$,
или
$LC = \frac{1}{ \omega^{2} } $.
Нужно получить еще одно соотношение между $L$ и $C$. Для этого нарисуем векторную диаграмму (рис.). Начнем рисовать с вектора $U_{R}$ - напряжения на параллельно соединенных конденсаторе и резисторе. Теперь изобразим ток конденсатора, равный,
$I_{C} = \frac{U_{R} }{X_{C} } = U_{R} \omega C$,
ток через резистор $R$, равный
$I_{R} = \frac{U_{R} }{R}$,
и полный ток - он протекает через катушку (и источник) и равен
$I_{общ} = \sqrt{I_{C}^{2} + I_{R}^{2} } = U_{R} \sqrt{ \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2}C^{2}}$.
Напряжение на катушке при этом равно
$U_{L} = X_{L} I_{общ} = U_{R} \omega L \sqrt{ \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2} C^{2} }$.
Если на диаграмме разложить вектор, изображающий $U_{L}$, на две составляющие - вдоль $U_{R}$ и перпендикулярно ему, то сразу видно, что полное напряжение между точками А и Б равно его перпендикулярной составляющей:
$U = U_{L} \sin \alpha = U_{R} \omega L \sqrt{ \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2}C^{2} } \frac{ \frac{U_{R} }{R} }{ \sqrt{U_{R}^{2} \left ( \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2}C^{2} \right ) } } = \frac{U_{R} \omega L }{R}$.
И наконец, соотношение между полным напряжение и общим током:
$\frac{U}{I_{общ} } = \frac{U_{R} \omega L }{RU_{R} \sqrt{ \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2}C^{2} } } = \frac{ \omega L }{ \sqrt{1 + \omega^{2}C^{2}R^{2} } } = \frac{L}{RC} = r$,
или
$\frac{L}{C} = Rr$. (2)
Из соотношений (1) и (2) получаются выражения для $L$ и $C$:
$L = \frac{ \sqrt{Rr} }{ \omega}, C = \frac{1}{ \omega \sqrt{Rr} }$.
Заметим, что эту задачу можно решить "в лоб" без использования свойств контура на резонансной частоте - методом "комплексных амплитуд".
