Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12731
2020-01-17 
Между двумя тяжелыми поршнями в длинной горизонтальной трубе находится $\nu$ молей идеального газа. Система вначале пребывает в равновесии. Один из поршней начинают двигать по направлению к другому с постоянной скоростью $v$. При какой максимальной величине этой скорости расстояние между поршнями в процессе движения будет изменяться не более чем на 1%? Температура газа остается равной $T_{0}$, масса второго поршня $M$.
Решение:
Удобно перейти в систему отсчета, которая движется вместе с первым поршнем с постоянной скоростью $v$. Тогда задача выглядит так: труба закрыта с одной стороны "наглухо", а с другой стороны - поршнем массой $M$, которому мы в первый момент сообщаем скорость $v$ (см рисунок). Температура газа по условию постоянна (это можно "оправдать" хорошим теплообменом между газом и массивными стенками трубы), а изменение объема мало (всего 1%) - это упростит вычисления.
Для данной порции газа запишем уравнения состояния в начальный момент:
$p_{0}lS = \nu RT_{0}$
и после сдвига поршня на малую величину
$(p_{0} + \Delta p )(l - x)S = \nu RT_{0}$.
После пренебрежения совсем малыми величинами получим
$p_{0}x = \Delta p l$, или $F = \Delta p S = \frac{p_{0}S }{l}x$.
Получаем обычное уравнение колебаний - "возвращающая" сила пропорциональна отклонению - с частотой
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{p_{0}S }{lM} } = \frac{1}{l} \sqrt{ \frac{p_{0}lS }{M} } = \frac{1}{l} \sqrt{ \frac{ \nu RT_{0} }{M} }$.
Для гармонических колебаний максимальное смещение $x_{m}$ и максимальная скорость $v_{m}$ связаны соотношением
$v_{m} = \omega_{0}x_{m}$.
Отсюда получаем
$v_{m} = \frac{1}{l} \sqrt{ \frac{ \nu RT_{0} }{M} } 0,01l = 0,01 \sqrt{ \frac{ \nu RT_{0} }{M} }$.
Между двумя тяжелыми поршнями в длинной горизонтальной трубе находится $\nu$ молей идеального газа. Система вначале пребывает в равновесии. Один из поршней начинают двигать по направлению к другому с постоянной скоростью $v$. При какой максимальной величине этой скорости расстояние между поршнями в процессе движения будет изменяться не более чем на 1%? Температура газа остается равной $T_{0}$, масса второго поршня $M$.
Решение:
Удобно перейти в систему отсчета, которая движется вместе с первым поршнем с постоянной скоростью $v$. Тогда задача выглядит так: труба закрыта с одной стороны "наглухо", а с другой стороны - поршнем массой $M$, которому мы в первый момент сообщаем скорость $v$ (см рисунок). Температура газа по условию постоянна (это можно "оправдать" хорошим теплообменом между газом и массивными стенками трубы), а изменение объема мало (всего 1%) - это упростит вычисления.
Для данной порции газа запишем уравнения состояния в начальный момент:
$p_{0}lS = \nu RT_{0}$
и после сдвига поршня на малую величину
$(p_{0} + \Delta p )(l - x)S = \nu RT_{0}$.
После пренебрежения совсем малыми величинами получим
$p_{0}x = \Delta p l$, или $F = \Delta p S = \frac{p_{0}S }{l}x$.
Получаем обычное уравнение колебаний - "возвращающая" сила пропорциональна отклонению - с частотой
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{p_{0}S }{lM} } = \frac{1}{l} \sqrt{ \frac{p_{0}lS }{M} } = \frac{1}{l} \sqrt{ \frac{ \nu RT_{0} }{M} }$.
Для гармонических колебаний максимальное смещение $x_{m}$ и максимальная скорость $v_{m}$ связаны соотношением
$v_{m} = \omega_{0}x_{m}$.
Отсюда получаем
$v_{m} = \frac{1}{l} \sqrt{ \frac{ \nu RT_{0} }{M} } 0,01l = 0,01 \sqrt{ \frac{ \nu RT_{0} }{M} }$.
