Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1273
2016-10-21 
Два школьника на уроке физики собрали самодельные приборы для измерения сопротивлений — омметры, состоящие из последовательно соединённых батарейки, резистора и амперметра, причём эти элементы у каждого школьника были разные. Потом они откалибровали свои приборы, подключая к ним резисторы с известными сопротивлениями, и нанесли на шкалы амперметров эти значения сопротивлений. Далее школьники решили вместе измерить неизвестное сопротивление $R_{x}$ резистора, одновременно подключив параллельно к нему оба своих прибора с соблюдением одинаковой полярности батареек. При этом один прибор показал значение сопротивления, равное $R_{1}$, а второй — $R_{2}$. Каково истинное значение $R_{x}$?
Решение:
Нарисуем схему разветвлённой электрической цепи, получившейся у школьников после подключения их приборов к неизвестному резистору (см. рис. ). Сопротивления резисторов $r_{1}$ и $r_{2}$ включают в себя сопротивления тех резисторов, которые школьники использовали в своих омметрах, а также внутренние сопротивления соответствующих батареек и амперметров.
Согласно правилам расчёта разветвлённых цепей постоянного тока (правила Кирхгофа), сумма токов в каждом узле разветвлённой цепи равна нулю, а сумма падений напряжений вдоль замкнутых контуров, на которые можно разбить эту цепь, равна суммарной ЭДС в этих контурах. Отсюда, выбрав направления текущих в участках цепи токов так, как показано на рисунке, получаем:
$\mathcal{E}_{1} = I_{1}r_{1} + (I_{1} + I_{2}) R_{x}; \mathcal{E}_{2} = I_{2}r_{2} + (I_{1} + I_{2}) R_{x}$.
Заметим, что при измерении сопротивления резистора $R$ одним из самодельных омметров через этот омметр течет ток $I_{i} = \frac{ \mathcal{E}_{i}}{r_{i} + R}$ (здесь $i = 1,2$), так что показание каждого омметра связано с текущим через него током формулой: $I_{i}R = \mathcal{E}_{i} — I_{i}r_{i}$. Поэтому записанную выше систему уравнений можно переписать в виде:
$I_{1}R_{1} = (I_{1} + I_{2})R_{x}$;
$I_{2}R_{2} = (I_{1} + I_{2})R_{x}$,
откуда
$I_{1} = (I_{1} + I_{2}) \frac{R_{x}}{R_{1}}, I_{2} = (I_{1} + I_{2}) \frac{R_{x}}{R_{2}}$.
Складывая эти равенства, получим: $R_{x} \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right ) = 1$. Отсюда
$R_{x} = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$.
Два школьника на уроке физики собрали самодельные приборы для измерения сопротивлений — омметры, состоящие из последовательно соединённых батарейки, резистора и амперметра, причём эти элементы у каждого школьника были разные. Потом они откалибровали свои приборы, подключая к ним резисторы с известными сопротивлениями, и нанесли на шкалы амперметров эти значения сопротивлений. Далее школьники решили вместе измерить неизвестное сопротивление $R_{x}$ резистора, одновременно подключив параллельно к нему оба своих прибора с соблюдением одинаковой полярности батареек. При этом один прибор показал значение сопротивления, равное $R_{1}$, а второй — $R_{2}$. Каково истинное значение $R_{x}$?
Решение:
Нарисуем схему разветвлённой электрической цепи, получившейся у школьников после подключения их приборов к неизвестному резистору (см. рис. ). Сопротивления резисторов $r_{1}$ и $r_{2}$ включают в себя сопротивления тех резисторов, которые школьники использовали в своих омметрах, а также внутренние сопротивления соответствующих батареек и амперметров.
Согласно правилам расчёта разветвлённых цепей постоянного тока (правила Кирхгофа), сумма токов в каждом узле разветвлённой цепи равна нулю, а сумма падений напряжений вдоль замкнутых контуров, на которые можно разбить эту цепь, равна суммарной ЭДС в этих контурах. Отсюда, выбрав направления текущих в участках цепи токов так, как показано на рисунке, получаем:
$\mathcal{E}_{1} = I_{1}r_{1} + (I_{1} + I_{2}) R_{x}; \mathcal{E}_{2} = I_{2}r_{2} + (I_{1} + I_{2}) R_{x}$.
Заметим, что при измерении сопротивления резистора $R$ одним из самодельных омметров через этот омметр течет ток $I_{i} = \frac{ \mathcal{E}_{i}}{r_{i} + R}$ (здесь $i = 1,2$), так что показание каждого омметра связано с текущим через него током формулой: $I_{i}R = \mathcal{E}_{i} — I_{i}r_{i}$. Поэтому записанную выше систему уравнений можно переписать в виде:
$I_{1}R_{1} = (I_{1} + I_{2})R_{x}$;
$I_{2}R_{2} = (I_{1} + I_{2})R_{x}$,
откуда
$I_{1} = (I_{1} + I_{2}) \frac{R_{x}}{R_{1}}, I_{2} = (I_{1} + I_{2}) \frac{R_{x}}{R_{2}}$.
Складывая эти равенства, получим: $R_{x} \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right ) = 1$. Отсюда
$R_{x} = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$.
